Hier werden einfach nur die natürlichen Zahlen konstruiert bzw. definiert. Man setzt induktiv \( 0 = \{ \} \) und dann \( n = \{ 0, ..., n-1\} \), um alle weiteren Zahlen zu erhalten.

Wichtig ist, dass hier nichts gerechnet wird. Das ist einfach eine Definition und hat zunächst keinen weiteren Sinn.

Gemäß den "Rechenregeln" für Mengen und der Definition der Zahlen gilt dann \( \{0,0,0\} = \{0\} = 1 \) und \( \{0,1,1\} = \{0,1\} = 2 \).

Man kann aber nicht für beliebige Mengen eine Zahl "ausrechnen". Mengen wie \( \{0,3\} \) oder \( \{1,2,7\} \) können beispielsweise keiner Zahl zugeordnet werden, da diese Mengen in der Definition der Zahlen gar nicht auftauchen.

Sinn und Zweck der Definition ist übrigens, dass wir damit wissen, dass die natürlichen Zahlen auch tatsächlich existieren. Es ist ja erstmal überhaupt nicht klar, ob es sowas wie die natürlichen Zahlen geben kann. Aber mit der Definition haben wir sie ganz explizit konstruiert und wissen nun, dass es sie gibt.