Hallo,

Die intuitiven Vektorräume sind der \( \mathbb{R} , \mathbb{R}^2 \) und \( \mathbb{R}^3 \), denn in denen beschreiben wir Bewegungen unserer Anschauung.

Die Elemente dieser Vektorräume können wir uns als Pfeile vorstellen. Wenn wir mathematisch solche Objekte unserer Anschauung beschreiben, kann es aber sein das sich Objekte finden die ebenfalls diese mathematische Struktur erfüllen aber uns nicht direkt etwas liefert das man sich gut vorstellen kann. 

Solche Objekte sind zum Beispiel auch bestimmte Funktionen. Es gibt wie in der anderen Frage gesagt den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall \( [a,b] \) (\( \mathcal{C}[a,b] \)). Es gibt den Raum der stetig n-mal differenzierbaren Funktionen die auch einen Vektorraum bilden \( \mathcal{C}^n \). Ein weiterer Funktionentyp die einen Vektorraum aufspannen sind Polynome vom Grad kleiner gleich \( n \), nämlich den \( \mathcal{P}_n \).

Doch was bringt uns das, dass diese Funktionen die mathematische Idee eines Vektorraums erfüllen?

Vor allem in den Bereichen Numerik oder Funktionalanalysis werden die Methoden der linearen Algebra genutzt um Funktionen auf bestimmte Eigenschaften zu untersuchen. 

Wir können beispielsweise eine Basis nutzen um bestimmte Eigenschaften nachzuweisen und dann die Linearkombination dieser Basisvektoren nutzen um leicht zu zeigen das diese Eigenschaften für alle Funktionen dieses Funktionenraums (Vektorraums) gelten.

Bei der Interpolation von Funktionen werden auch besonders gut geeignete Basispolynome genutzt um diese so zu drehen , so zu projezieren oder ähnliches damit wir ein Polynom erhalten das besonders gut den Verlauf durch gegebene Stützstellen beschreibt.

Ok das am Rande. Nun sind lineare Abbildungen, Abbildungen von einem Vektorraum in einen anderen Vektorraum. Deshalb existieren auch lineare Abbildungen die von einen Funktionenraum in einen anderen Vektorraum abbilden. Was diese Abbildung bedeutet sei jetzt erstmal dahingestellt :p

Jede lineare Abbildung kann durch eine Matrix beschrieben werden. Die Abbildungsmatrix hängt von der Basis ab, von der wir und in die wir abbilden. Das heißt zwei unterschiedliche Matrizen können die selbe Art von Abbildung beschreiben bzgl einer anderen Basis (solche Matrizen nennt man übrigens ähnlich zueinander). 

Eine Abbildung \( \varphi : V \to W \) mit der Basis \( \mathcal{A} \) von \( V \) und \( \mathcal{B} \) von \( W\) beschreibt man durch die Abbildungsmatrix \( \mathcal{l}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{A}} \). 

Eine Abbildungsmatrix hat als Spalten die Bildvektoren der Basiselemente von \( \mathcal{A} \) bezogen auf die Basis \( \mathcal{B} \). 

Ist dir das klar?

Nun gucken wir uns erstmal an wie so ein Polynom als Vektor dargestellt werden kann. Wir betrachten den Vektorraum der Polynome von Grad kleiner gleich \( 3 \) (\(\mathcal{P}_3 \)) mit der Basis

$$ \mathcal{B} := \{ 1 ,x ,x^2 ,x^3 \} $$

Betrachten wir jetzt mal beispielsweise das Polynom

$$ p(x) = 2x^3 - 3x + 2 $$

Siehe diese Form als Linearkombination der Basisvektoren an. Wie könnte dieses Polynom als Vektor aussehen?

Dann überlege dir einmal zuerst, wie dieses Polynom durch \( l \) abgebildet wird. 

Nun kannst du jeden Basisvektor der Basis \( \mathcal{B} \) durch \( l \) abbilden. Wie sehen diese Bilder aus?

Wie sehen diese Bilder als Linearkombination der Basis

$$ \mathcal{C} := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  1 \end{pmatrix} \right\} $$

aus? 

Nun musst du nur noch die Bilder als Spalten in die Matrix einsetzen und erhälst deine Abbildungsmatrix.

Versuch dich mal. Wenn du irgendwo nicht weiter kommst, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian 

Geucht ist also \(D\) mit \(l(p)=D p\) für alle Polynome \(p\in P^3\).

Die Matrix \(D\) wird \(3\times 4\). Lies erst weiter, wenn Dir das klar ist.

Jedes \(p\) lässt sich schreiben als \(p = \sum\limits_{i=0}^3\lambda_i m_i\). Du berechnest dafür \(l(p)\) nach Definition (Summe ausschreiben), das wird ein Vektor aus R^3 mit Linearkombinationen von lambda's in der ersten und dritten Koordinate. Daraus liest Du \(D\) ab.

Und nun los, Schritt für Schritt. Ggf. nachfragen unter Angabe, wo Du stehst.