Hallo,

die Lösungsmenge stimmt nicht. Deine Lösung müsste für alle \(k \in \mathbb{R} \) und alle \( l \in \mathbb{R} \) das Gleichungssystem erfüllen. Setzen wir \( k=1 \) und \( l =0 \) erhalten wir als Lösung 

\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Setzen wir das in die erste Gleichung ein erhalten wir

\( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1 + 3 = 4 \neq 1 \)

Du hast die Gleichungen

\( 1x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \\ 0 = 0 \)

Die Gleichung \( 0 = 0 \) liefert uns keine Informationen. Wir beschränken uns also auf die erste Gleichung

\( x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 1 \)

Nun haben wir 3 Unbekannte und nur eine Gleichung. Das bedeutet wir müssen zwei Variablen frei wählen.

Wählen wir \( x_2 = k \) und \( x_3 = l \) erhalten wir für \( x_1 \)

\( x_1 = 1 - 3x_2 - 2x_3 = 1 - 3k - 2l \)

Damit erhalten wir den Lösungsvektor

\( \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 - 3k - 2l \\ k \\ l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Grüße Christian