Wenn der Entwicklungspunkt die Stelle \(x=0\) ist, nennt man die Taylorreihe Maclaurin Reihe.
Sprich \(f(x) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\).
Die ersten drei Ableitungen der Log-Funktion lauten:
\(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\\
f''(x) = -\dfrac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}\\
f'''(x) = \dfrac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\)
Das Taylorpolynom 3. Grades wäre
\(T_{0;3}(x) = \dfrac{\ln(1+0^2)\cdot x^0}{0!} + \dfrac{f'(0) \cdot x^1}{1!} + \dfrac{f''(0)\cdot x^2}{2!} + \dfrac{f'''(0)\cdot x^3}{3!}= x^2-\dfrac{x^4}{2}\).
Ich habe bereits angefangen, eine allg. Bildungsvorschrift für die Ableitung zu entwickeln, evtl. findest du aber auch eine andere / einen anderen Weg:
\(f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}\cdot \dfrac{2(n-1)!\: \cdot \: ?}{(x^2+1)^n}\)
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.5K