Da gibt es mehrere Möglichkeiten, auch davon abhängig, in welcher Form die Tangentengleichung vorliegen soll.

Wandelt man die implizite Kugelgleichung in Koordinatenform um, und löst anschließend nach y auf, so erhält man (da \(p_2 < 0\)) gilt: \(f(x) = -\sqrt{25-x^2}\). Der gesuchte Punkt hat demnach die Koordinaten \(p_2(4|f(4) = p_2(4|-3)\).

Die Steigung an dieser Stelle beträgt \(\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)\bigg\vert_{x=4} = \dfrac{4}{3}\).

Somit lautet die vorl. Tangentengleichung \(t(x) = \dfrac{4x}{3}+b\).
Den Punkt eingesetzt liefert schließlich \(t(x) = \dfrac{4x}{3}-\dfrac{25}{3}\).

Alternativ evtl. auch implizit abgeleitet: \(f(x,y):=x^2+y^2-25 \\
\Rightarrow m=-\dfrac{F_{x=4}}{F_{y=-3}} = -\dfrac{2\cdot 4}{2\cdot (-3)} = \dfrac{4}{3}\)

Vektoriell ließe sich ein Vektor bestimmen, dessen SP mit dem Verbindungsvektor zwischen MP der Kugel und diesem Punkt null ergibt. Dieser Vektor fungiert als RV der Tangente. Als OV wird schlichtweg der OV von \(p_2\) genutzt.

\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow 4x=3y \Rightarrow x=1 \,\wedge\, y=\dfrac{4}{3}\)

Somit lautet die Geradengleichung \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}1\\\frac{4}{3}\end{pmatrix}\)