Hallo,

der Begriff "abzählbar" ist nur für den unendlichen Fall definiert worden. 

Wir wollen eine Aussage darüber machen wie groß eine Menge ist. Bei endlichen Mengen ist das kein Problem. Wir können die Elemente "einfach" zählen und erhalten so die Größe der Menge.

Bei unendlich großen Mengen gestaltet sich das ganze etwas schwieriger. Es gibt keine feste Anzahl von Elementen in dieser Menge. 

Nun unterscheidet man unendliche Mengen in zwei Kategorien. Abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich.

Doch wie kommen wir jetzt genau zu dieser Definition der Abzählbarkeit?

Gucken wir uns die natürlichen Zahlen an. Sie sind vermutlich intuitiv entstanden als der Mensch angefangen hat Dinge zu zählen. Nun können wir aber immer weiter zählen (theoretisch bis ins unendliche). Eine Menge die diese Eigenschaft hat nennt man nun abzählbar. 

Wir können also von einer abzählbaren Menge jedem Element eine natürliche Zahl zuweisen (die Menge durch nummerieren/zählen). 
Da beide Mengen unendlich sind, kann man sagen beide Menge haben eine gleiche Größe.
Das würde wie du schon sagst prinzipiell auch mit endlichen Mengen gehen, aber die Idee das zu definieren macht eben nur für unendliche Mengen Sinn, da wir endlichen Mengen bereits eine eindeutige Größe zuordnen kann (und diese Mengen, da sie endlich sind, natürlich auch nicht so groß sind wie die natürlichen Zahlen)

Mit Überabzählbarkeit kann man dann sagen, das die Menge noch größer ist als die der natürlichen Zahlen. Wir können diese Mengen nicht mehr durchnummerieren, denn nehmen wir beispielsweise zwei reelle Zahlen, dann findet sich zwischen diesen beiden Zahlen immer noch eine weitere reelle Zahl. Das kann man unendlich fortführen, die Menge ist also überabzählbar unendlich.

Ich hoffe ich konnte dir ein Gefühl für diese Begriffe geben. Ansonsten melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian