Hallo,

die Determinante wird genau dann Null, wenn mindestens zwei Spalten bzw. Zeilen einer Matrix linear abhängig sind. 

Ich nehme an \( D_1 \) ist die Determinante der Koeffizientenmatrix von der die erste Spalte ausgetauscht wurde?

Wir haben dann in \( D_1 \) aber eine andere Spalte. Das bedeutet wir untersuchen nun andere Spalten (Vektoren) auf lineare Abhängigkeit. Deshalb erhälst du auch nicht zwangsläufig die selben Werte für \( a \). 

Doch was sagen uns nun die verschiedenen Determinanten?

Gucken wir uns dafür eine Formel an, mit der man über die Determinante die Lösung eines inhomogenen LGS berechnen kann. Für den Lösungsvektor

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} $$

gilt mit der Koeffizientenmatrix \( A \)

$$ x_i = \frac {\mathrm{det}(A_i)} {\mathrm{det}(A)} $$

\( A_i \) sind dabei die Matrizen bei denen die \(i\)-te Spalte ausgetauscht wurde. 

Wenn nun \( \mathrm{det}(A) = 0 \) gelten würde, müssten wir durch Null teilen. Das dürfen wir natürlich nicht. Deshalb existiert in diesem Fall keine Lösung.
Wenn \( \mathrm{det}A_i = 0 \) und \( \mathrm{det}(A) \neq 0 \), so wird der Koeffizient \( x_i \) des Lösungsvektors zu Null. 

Ein Beweis ist das natürlich nicht aber mit der Formel kann man es sich ganz schön merken finde ich.

Grüße Christian