Hallo,

die ersten beiden Zeilen ((2.19) und (2.20)) sind erstmal nur die Definition des Grenzwertes. Würde es zwei geben müssten beide Bedingungen gelten.

Machen wir uns noch einmal genau klar was diese bedeutet. 

Für alle \( \varepsilon \) existiert ein natürliche Zahl \( N_i \). Für alle natürlichen Zahlen größer als dieses \( N_i \) wird der Abstand von Folgeglied \( a_n \) und Grenzwert \( a \) kleiner als \( \varepsilon \). Alle Folgeglieder sind also in einer direkten Umgebung vom Grenzwert.

Nun wählen wir das größere der beiden \( N_i \). Warum tun wir das?

Sagen wir \( N_1 \) wäre das Maximum der beiden Zahlen. Da alle Folgeglieder für alle \( n \geq N_2 \) in direkter Umgebung von \( b \) liegen und \( N_1 \geq N_2 \), müssen alle Folgeglieder ab diesem \( N_2 \) sowohl in einer direkten Umgebung zu \( a \) als auch zu \( b \) liegen. 

Analoges gilt wenn \( N_2 \) größer wäre.

Das war die erste Zeile.

Nun gehen wir von \( N \) aus, dabei ist \( N \) das Maximum der beiden \( N_i \).

Ab diesem Maximum gilt 

$$ \vert a- a_n \vert< \varepsilon \ \text{und} \ \vert b - a_n \vert< \varepsilon $$

Nun bestimmen wir den Abstand von \( a \) und \( b \). 

$$ \vert a - b \vert = \vert a - a_n + a_n - b \vert \leq \vert a - a_n \vert + \vert a_n - b \vert $$

Wir addieren zuerst eine Null (\( 0 = a_n - a_n \)) und nutzen dann die Dreiecksungleichung. 

Und am Ende die Abschätzung die wir ab \( N \) nutzen dürfen.

Das war die zweite Zeile.

Die dritte Zeile fast das Resultat der zweiten nochmal zusammen und dort haben wir im Prinzip wieder die Grenzwert Definition, deshalb ist der Abstand von \( a \) und \( b \) Null.

Wenn noch etwas unklar ist melde dich nochmal.

Grüße Christian