Hallo,

die Definition steht ja oben

$$ \mathbb{Q}[\sqrt{p}] := \{ a+b \sqrt{p} : a,b \in \mathbb{Q} \} $$

Du kannst dir das ähnlich wie bei komplexen Zahlen vorstellen. Dort erhalten wir auch eine komplexe Zahlen über 2 reelle Zahlen und \( i \) die imaginäre Einheit

$$ z = a+bi $$

Die Elemente des Rings \( \mathbb{Q}[\sqrt{p}] \) erhälst du also, wenn du eine rationale Zahl addierst mit dem Produkt einer rationalen Zahl und \( \sqrt{p} \). Dadurch das \( \sqrt{p} \) keine rationale Zahl ist, erhalten wir so eine Erweiterung der rationalen Zahlen. 

Grüße Christian