Extremwertprobleme mit Nebenbedingung

Aufrufe: 1446     Aktiv: 27.10.2019 um 21:25
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Aufgabe: Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat das Volumen von 1000cm^3.

Bestimmt werden sollen die Masse des Quaders , wenn sein Oberflächeninhalt minimal sein soll. Wie gross ist der minimale Oberflächeninhalt.

Ich komme nicht weiter bei der Erstellung der Zielfunktion.

Formel für Oberflächeninhalt: 2a^2+4ah, Nebenbedingung: 1000=a^2*b

Aber dann komme ich nicht weiter.... Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

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Oberfläche Quader: \(O(x,y) = 2x^2 + 4xy\)

Volumen: \(V(x,y) = x^2y\); ferner gilt: \(V(x,y) = 1000\)

Volumenformel auflösen z.B. nach y:

\(y=\dfrac{1000}{x^2}\)

Ersetze y in der Oberflächenformel. Dies resultiert in der Zielfunktion:

\(Z(x) = 2x^2 + 4x\cdot \dfrac{1000}{x^2} = 2x^2+\dfrac{4000}{x}\)

Hiervon nun das Minimum bestimmen und die restlichen Werte berechnen.

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