Bestimmung der Fouriertransformierte der Gauß'schen Glockenkurve

Erste Frage Aufrufe: 823     Aktiv: 28.10.2019 um 16:28
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Hallo, wie im Titel genannt möchte ich gerne die Fouriertransformierte der Glockenkurve bestimmen. Sie ist gegeben mit \( f(x)=\frac{ 1 }{ \pi^{ \frac{ 1 }{ 4 }} \sqrt{ b } }\exp(-\frac{ x^2 }{ 2b^2 }) \). Die Fouriertransformation ist in der Aufgabe gegeben mit: \( F(k)=\frac{ 1 }{  \sqrt{ 2\pi }}\int ^{ -\infty }_{ \infty }{f(x) e^{ -i k x } \; \text d x} \). Ich habe darauf hin alles eingesetzt und wie folgt umgestellt: \( F(k)=\frac{ 1 }{  \sqrt{ 2\pi }} \frac{ 1 }{ \pi^{ \frac{ 1 }{ 4 }} \sqrt{ b } } \int ^{ -\infty }_{ \infty }\exp(-\frac{ x^2 }{ 2b^2 }) e^{ -i k x } \; \text d x \). Ich wollte dazu fragen wie löse ich am besten das Integral. Also wird das höchst wahrscheinlich über partielle Integration gehen. Zudem ist noch folgender Tipp angegeben: \( \int ^{ -\infty }_{ \infty }{e^{ -\alpha  x^2 } \; \text d x}=\sqrt{ \frac{ \pi }{\alpha  } } \).

Vielen Dank. 

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Hallo,

dein Ansatz ist korrekt. Schreibe es dir mal auf und vereinfache es am besten dirkekt durch selbst gesetzte Parameter.

$$ \frac 1 {\sqrt{2\pi \cdot b} \sqrt[4]{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {x^2} {2b^2}} \cdot e^{-ikx} \ \mathrm{d}x $$

Wir setzen \( a = \frac 1 {\sqrt{2\pi \cdot b} \sqrt[4]{\pi}} \), \( c = -\frac 1 {2b^2} \) und \( d= -ik \) und erhalten

$$ a \int_{-\infty}^{\infty} e^{c x^2} \cdot e^{dx} \ \mathrm{d}x $$

So sieht es schon viel schöner aus.

Nun verändern wir noch den Exponenten von \( e\)

$$ e^{cx^2 + dx} $$

wir führen eine quadratische Ergänzung durch

$$ cx^2 + dx = ( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 - \frac {d^2} {4c} $$

Somit erhalten wir das Integral

$$ a \int_{-\infty}^{\infty} e^{( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 - \frac {d^2} {4c}} = \frac a {e^{ \frac {d^2} {4c}}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2} \mathrm{d}x $$

Nun substituiere noch 

$$ u = ( \sqrt{c}x + \frac d {2\sqrt{c}})^2 $$

und du kannst das Integral mit Hilfe deines Tipps lösen.

Grüße Christian

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Danke für die Antwort. Ich war bereits auf einen ähnlichen Weg, jedoch muss der Ausdruck nicht ohne das Quadrat mit u Substituiert werden, und die Ersetzung c ohne das Minus um den Tipp anwenden zu können. So würde für das Integral \( \sqrt{\pi} \) herauskommen, natürlich mit den ganzen anderen Konstanten oder sehe ich das Falsch?   ─   timpy1995 28.10.2019 um 13:02
Ich hoffe ich habe mich niergendwo auf die schnelle verrechnet, aber ich erhalte als Ergebnis

$$ \frac {\sqrt{b}} {\sqrt[4]{\pi}} e^{-\frac{k^2b^2} {2}} $$

Grüße Christian   ─   christian_strack 28.10.2019 um 15:59

So ich habe jetzt raus: \( \frac{1}{^4\sqrt{\pi}\sqrt{\frac{1}{b^2}}\sqrt{b}} \cdot e^{-\frac{k^2b^2}{2}} \) . Als ich diesen Ausdruck in Mathematika eingegeben habe kam deine Lösung raus für den Fall, dass b>0 sei. Danke schön nochmal für die Mühe.
  ─   timpy1995 28.10.2019 um 16:12
$$ \sqrt{\frac 1 {b^2}} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{\frac b {b^2}} = \sqrt{\frac 1 b} $$

Da dieser Ausdruck im Nenner steht, können wir den Kehrwert bilden und in den Zähler schreiben. Damit erhälst du mein Ergebnis :)

Sehr gerne :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 28.10.2019 um 16:28

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