Hallo,
die vorgehensweise variiert etwas, aber ich versuche dir mal ein Gefühl dafür zu geben.
Gucken wir uns das mal an deinen Beispielen an
$$ \cos(x) = \sin(2x) $$
Diese Gleichung können wir zuerst mit Hilfe der Additionstheoreme umformen
$$ \sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x) $$
Damit erhalten wir die Gleichung
$$ \cos(x) = 2 \cos(x)\sin(x) $$
Nun machen wir eine Fallunterscheidung.
1. $$ \cos(x) = 0 $$
Damit erhalten wir
$$ 0=0 $$
Also sind alle \( x \) für die \( \cos(x) \) Null wird, schon mal Lösung der Gleichung.
2. $$ \cos(x) \neq 0 $$
Dann teilen wir durch \( \cos(x) \) und erhalten
$$ 1 = 2 \sin(x) $$
Diese Gleichung kannst du nun ebenfalls lösen.
Wenn du alle Lösungen aus beiden Fällen hast, dann bestimmst du noch die gemeinsame Periode (hier \(2 \pi\)) und deine Lösungen sind dann
$$ x_i + nT$$
Es sind also im Prinzip 2 Sachen zu klären. Wie ist die gemeinsame Periode und wie sehen die Lösungen in dieser Periode aus?
Grüße Christian
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