Hallo,

$$ x' - x\cdot \tan(t) + 2 = 0 $$

Wir nutzen deinen Hinweis, das bedeutet wir substituieren

$$ x(t) := z(t) -  2 \cdot \tan(t) $$

Dafür müssen wir aber auch \( x'(t) \) substituieren.

$$ x'(t) = z'(t) - \frac 2 {\cos^2(t)} $$

Setzen wir beides ein, erhalten wir:

$$ z'(t) - z(t) \cdot \tan(t) - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2 = 0 $$

Betrachten wir den Term:

$$- \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2  $$

um formen diesen etwas um:

$$ \begin{array}{cl} & - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \tan^2(t) +2 \\ = & - \frac 2 {\cos^2(t)} + 2 \cdot \frac {\sin^2(t)} {\cos^2(t)} +2 \\ = & 2( \frac {-1+sin^2(t)} {\cos^2(t)} +1 ) \\ = & 2( - \frac {\cos^2(t)} {\cos^2(t)} + 1 ) \\ = & 2 ( -1 + 1) \\ = & 0 \end{array} $$

Der Term ist also gleich Null. Also müssen wir nur noch die folgende homogene DGL lösen:

$$ z'(t) - z(t) \cdot \tan(t) = 0 $$

Grüße Christian