Hallo,

sei \( X_i \) die Matrix, die Einheitsmatrix, bei der die \(i\)-te Spalte durch den Lösungsvektor \( \vec{x} \) ausgetauscht wurde, also zum Beispiel:

$$ X_2 := \begin{pmatrix} 1 & x_1 & 0 & \ldots &0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\  \vdots & \vdots &  & \ddots & & \vdots  \\ 0 & x_{n-1} & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & x_n & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Mach dir nun klar, das 

$$ A \cdot X_2 = A_2 $$

oder allgemein

$$ A \cdot X_i = A_i $$

gilt, wobei \( A_i \) nun die gegebenen Koeffizientenmatrix ist, wobei die \(i\)-te Spalte durch den Vektor \( \vec{b} \) ersetzt wurde.

Auf die obige Formel lassen wir nun die Determinante los

$$ \mathrm{det} (A \cdot X_i) = \mathrm{det}(A_i) \\ \Rightarrow \mathrm{det}(A) \cdot \mathrm{det}(X_i) = \mathrm{det}(A_i) $$

Mach dir nun mit Hilfe des Laplacschen Entwicklungssatz klar, das 

$$ \mathrm{det}(X_i) = x_i $$

gilt, wobei \( x_i \) der \(i\)-te Eintrag des Lösungsvektors \( \vec{x} \) ist. 

Teilen wir obige Gleichung noch durch \( \mathrm{det}(A_i) \), erhalten wir die Cramersche Regel

$$ x_i = \frac {\mathrm{det}(A)} {\mathrm{det}(A_i)} $$

Grüße Christian