Hallo,

Wenden wir die Formel von Cauchy Hadamard an

$$ r = \frac 1 {\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}} $$

Wir bestimmen zuerst den Wurzelausdruck

$$ \sqrt[n]{\vert \frac {(-1)^{n+1}} n \vert} \\ = \frac {1} {\sqrt[n]{\vert n \vert}} $$

Davon ziehen wir jetzt den Grenzwert

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt[n]{\vert n \vert}} = 1 $$

Und somit ist der Radius 

$$ r = \frac 1 {\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert a_n \vert}}  = 1 $$

Die Reihe konvergiert nun für alle \( (x_0-r , x_0 + r) \). Dabei ist \( x_0 \) der Entwicklungspunkt. Dieser ist bei uns Null. 
Also konvergieren auf jeden Fall alle \( x \in ( -1 , 1 ) \). Die Punkte auf dem Rand des Intervalls muss man noch einzelnd überprüfen. 

Für \( x = 1 \), gilt 

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {1^n} {n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}} {n} = \ln(2) $$

Dies ist die alternierende harmonische Reihe und konvergiert gegen \( \ln(2) \).

Für \( x= -1 \), gilt

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {(-1)^n} n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {-1} n = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 n $$

Das ist die negative harmonische Reihe und diese divergiert, also gilt für den Konvergenzradius

$$ x \in (-1,1] $$

Grüße Christian