Z.z.: \(\forall n\in \mathbb{N}_0:\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n k^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \)

Mittels vollständiger Induktion:

1) Die Gleichung ist für \(n=0\) erfüllt:

\(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^0 k^3 = 0  \stackrel{!}{=} \dfrac{0^2(0+1)^2}{4} = 0 \Rightarrow \text{w.A.}\)

2) Die Aussage gilt für ein beliebiges \(n\). Nun gilt sie auch für \(n=n+1\), da:

\(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} k^3 = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 \\
= \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 \\~\\
... \\~\\
= \dfrac{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4}\)

Das entspricht der rechten Seite der obigen Gleichung für \(n=n+1\).