Hallo,

ich habe noch nicht allzu viel Erfahrung mit der Anwendung der Fouriertransformation, aber ich glaube dein Fehler ist der folgende. 

Ich erhalte auch

$$ e^{-\vert 3t  \vert} \to \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {\omega^2} 9} $$

Nun führen wir eine Verschiebung durch

$$ x(t-t_0) \to X(\omega) e^{-i 2\pi \omega t_0} $$

Das bedeutet, mit

$$ e^{-\vert 3t - 2 \vert} = e^{-3\vert t - \frac 2 3 \vert} $$

das \( t_0 = \frac 2 3 \). Nun setzen wir das ganze ein und erhalten

$$ e^{-\vert 3 t - 2 \vert} = e^{-i 2 \pi \omega \frac 2 3 } \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {\omega^2} 9}   $$

Es fehlt also ein \( 2\pi \) bei dir im Exponenten. 

Nun würde ich den anderen Faktor noch umformen zu

$$ 3e^{2i(3t-2)} = e^{6it} \cdot 3e^{-4i} = 3e^{-4i} \cdot e^{i 2 \pi \frac 3 {\pi} t} $$

Der erste ist ein Vorfaktor, den wir komplett übernehmen können, das zweite ist nun eine Verschiebung, mit \( f_T = \frac 3 {\pi} \), also erhalten wir

$$  e^{i 2 \pi \frac 3 {\pi} t} \cdot e^{-\vert 3 t - 2 \vert} = e^{-i 2 \pi (\omega- \frac 3 {\pi}) \frac 2 3 } \frac 1 {\vert 3\vert} \frac 2 {1 + \frac {(\omega - \frac 3 {\pi})^2} 9} $$

Den Vorfaktor \(  3e^{-4i} \) dürfen wir nun aufgrund der Linearität einfach übernehmen. 

Was sagst du dazu?

Zur 5) hilft es vielleicht zuerst eine Partialbruchzerlegung durchzuführen. Was für Transformationen hast du für gebrochenrationale Funktionen gegeben? Nur die eine?

Grüße Christian