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Hallo,
die Operation ist eine Mischung aus Addition, Subtraktion und Multiplikation.
Gucken wir uns mal die Assoziativität an.
$$ ( (a,b) \cdot (a',b')) \cdot (a'',b'') = (a,b) \cdot ((a',b') \cdot (a'',b'') ) $$
Wir berechnen zuerst die linke Seite
$$ ((a,b) \cdot (a',b')) \cdot (a'',b'') \\ = (aa'-bb',ab'+ba') \cdot (a'',b'') \\ = ((aa'-bb')a'' - (ab' +ba')b'' , (aa'-bb')b'' + (ab'+ba')a'' ) $$
Nun kannst du auf die gleiche Weise die rechte Seite berechnen und zeigen das diese gleich sind.
Mit der Kommutativität gehst du ähnlich um.
Für das neutrale Element \(e\) bestimme
$$ (e_1 , e_2) \cdot (a,b) = (e_1a-e_2b,e_1b+e_2a) = (a,b) $$
Wenn du das neutrale Element hast, kannst du auf ähnliche Weise das Inverse bestimmen. Versuch dich mal. Wenn noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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Ich finde anstatt Operation das Wort Verknüpfung schöner. Eine Gruppe besteht aus einer Menge und eine Struktur wie man diese Elemente miteinander verknüpft. Wie diese Verknüpfung aussieht ist erstmal komplett egal, hauptsache sie erfüllt die 3 Axiome. Zum Beispiel kann man auch die Menge von bijektiven Funktionen nehmen und als Verknüpfung die Komposition von Funktionen nutzen. Dann verknüpfen wir zwei Funktionen, indem wir die eine in die andere einsetzen.
Ich bin mir nicht ganz sicher was du mit der linken Seite meinst? ─ christian_strack 12.11.2019 um 21:57
Eine Gruppe besteht wie gesagt aus einer Menge und einer Verknüpfung. Die Gleichung
$$ (a,b) \cdot (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba') $$
beschreibt uns nur auf welche Art wir die Elemente in unserer Gruppe verknüpfen. Sowie man zum Beispiel die Multiplikation durch die Addition definieren kann.
Dann zeigen wir das wir eine Gruppe haben, indem wir zeigen, das wenn wir Elemente auf diese Art verknüpfen, auch die Gruppenaxiome gelten.
Ich habe auch nicht komplett gezeigt das es eine Gruppe ist, ich habe dir nur die Ansätze gegeben. Schaffst du es denn die Axiome zu Ende zu beweisen? ─ christian_strack 14.11.2019 um 14:40
Einfach dran bleiben und nicht entmutigen lassen. Für den Rest melde dich immer gerne hier im Forum :)
Als Tipp, auch wenn es viellecht anfangs etwas abwägig klingt, hilft es hier im Forum mit an anderen Fragen zu arbeiten. Ich habe hier im Forum auch erst viele Zusammenhänge richtig verstanden, weil ich mich mit den Fragestellern hinsetze und erstmal meine Ideen präsentiere und dann mit ihr/ihm darüber diskutiere. ─ christian_strack 19.11.2019 um 15:28
Dann zeige ich die Eigenschaften für die linke Seite und bin fertig? Oder muss ich Assoziativität etc. auch noch für (aa' - bb', ab' + ba') zeigen? ─ jens1 12.11.2019 um 19:34