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Hallo,
es gilt
$$ z = a+ib $$ und $$ \overline{z} = a-ib $$
Wenn wir das nun multiplizieren erhalten wir
$$ z \overline{z} \\ = (a+ib)(a-ib) \\ = a^2 - (ib)^2 \\ = a^2 + b^2 $$
Nun berechne einmal
$$ 2i\overline{z} = 2i(a-ib) $$
Jetzt musst du nur noch die Differenz bilden und den kompletten Term zusammenfassen. Dann vergleichst du den Realteil den du erhalten hast mit \(1\) und den Imaginärteil mit \(2\).
Dadurch erhälst du ein Gleichungssystem das du lösen kannst.
Zur zweiten. Wir haben schon berechnet, dass
$$ z \overline{z} = a^2 + b^2 $$
Also können wir die Gleichung aufstellen
$$ a^2 + b^2 = 4 $$
Da wir eine Schnittmenge haben, müssen beide Gleichungen gelten. Also berechne einmal
$$ z^2 = -4 $$
und prüfe, welche dieser Lösungen auch die erste Gleichung erfüllt.
Wenn noch etwas unklar ist, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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$$ z \overline{z} - 2i\overline{z} $$
Jetzt sortierst du deinen Term. Alle Summanden ohne \(i \) zusammen und alle mit.
Wenn du dann die Gleichung betrachtest, muss der Teil ohne \( i \) gleich \( 1 \) sein und der Teil mit \( i \) gleich 2.
─ christian_strack 09.11.2019 um 15:26
$$ (a^2 +b^2 - 2b) + (-2a)i = 1 + 2i $$
Daraus basteln wir uns zwei Gleichungen
$$ a^2 + b^2 -2b = 1 $$
und
$$ -2a = 2 $$
Ist dir klar warum ich diese Gleichungen aufstellen darf?
Löse am besten erst die zweite und setze dann die Lösung in die erste ein. ─ christian_strack 09.11.2019 um 15:36
-i und 2-i? ─ momo1999 09.11.2019 um 17:19
$$ z_1 = -1 \\ z_2 = -1 + 2i $$
Der Betrag in den komplexen Zahlen ist definiert über
$$ \vert z \vert = \sqrt{z \overline{z} } = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Für \( z^2 = (a+ib)^2 \) nutze die 1. binomische Formel. ─ christian_strack 10.11.2019 um 01:26