Hallo,

1. Relationszeichen(=):

Setzen wir \( m \) in diese Summe ein, erhalten wir 

$$ \vert a_{m+1} - a_{m} \vert $$

Wenn wir nur \( n-1 \) in die Vorschrift einsetzen, erhalten wir

$$ \vert  a_n - a_{n-1} \vert $$

Dadurch das wir hier eine Teleskopsumme, haben wir ansonsten immer ein \( a_l \) und ein \( -a_l \). Diese kürzen sich zusammen weg und so erhalten wir die Gleichheit.

2. Relationszeichen (\(\leq\) ) 

Hier wird die Dreiecksungleichung genutzt.

3. Relationszeichen (\(\leq \))

Hier nutzen wir das was zu beweisen ist.

4. Relationszeichen (=) 

Hier wird die Reihe auf die allgemeine Form der geometrischen Reihe gebracht.

5. Relationszeichen (=)

Hier wird die Konvergenz der endlichen geometrischen Reihe ausgenutzt.

Daraus folgt dann sofort, das wir eine Cauchy Folge haben und daraus folgt sofort die Konvergenz der Folge.

Grüße Christian