Hallo,

das Kreuzprodukt leitet sich daraus her, wenn du ganz allgemein zwei Vektoren nimmst

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ,\ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $$

Wir wollen nun zu diesen beiden Vektoren einen senkrechten Vektor finden. Diesen nennen wir 

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} $$

Dieser ist senkrecht, also gilt

$$ \vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} = 0 $$

Daraus entstehen zwei Gleichungen. Wenn wir diese ganz allgemein lösen, dann erhalten wir die Formel für das Kreuzprodukt.

Für die Länge dieses Vektors gilt 

$$ \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert = \vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert \sin(\alpha) $$

Wenn beide Seiten quadriert und den Zusammenhang

$$ \sin^2(\alpha) = 1- \cos^2(\alpha) $$

nutzt, kommst du die Gleichung

$$ \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert^2 = \vert \vec{a} \vert^2 \vert \vec{b} \vert^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 $$

Wenn du beides ausmultiplizierst und ausrechnest, siehst du die Gleichheit. 

Grüße Christian