Hallo,
das Kreuzprodukt leitet sich daraus her, wenn du ganz allgemein zwei Vektoren nimmst
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} ,\ \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $$
Wir wollen nun zu diesen beiden Vektoren einen senkrechten Vektor finden. Diesen nennen wir
$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} $$
Dieser ist senkrecht, also gilt
$$ \vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{b} = 0 $$
Daraus entstehen zwei Gleichungen. Wenn wir diese ganz allgemein lösen, dann erhalten wir die Formel für das Kreuzprodukt.
Für die Länge dieses Vektors gilt
$$ \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert = \vert \vec{a} \vert \vert \vec{b} \vert \sin(\alpha) $$
Wenn beide Seiten quadriert und den Zusammenhang
$$ \sin^2(\alpha) = 1- \cos^2(\alpha) $$
nutzt, kommst du die Gleichung
$$ \vert \vec{a} \times \vec{b} \vert^2 = \vert \vec{a} \vert^2 \vert \vec{b} \vert^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 $$
Wenn du beides ausmultiplizierst und ausrechnest, siehst du die Gleichheit.
Grüße Christian
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Du hast nochmal eine Frage zur Herleitung des Kreuzproduktes gestellt. Was ist nicht klar geworden?
Doppelte Fragen werden hier gelöscht.
Grüße Christian ─ christian_strack 25.11.2019 um 14:22
Sehr gerne.
Grüße Christian ─ christian_strack 26.11.2019 um 18:05