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Hallo,
als Tipp der \( \mathbb{C} \) als \( \mathbb{R}\)-Vektorraum ist zwei dimensional. Ist dir klar wieso?
Welche Dimension hat dann dein Vektorraum? So viele Basivektoren brauchst du. Das ganze läuft relativ analog zum reellen Fall ab. Der einzige Unterschied, ist eben das \( \mathbb{C} \) bereits 2D ist.
Wie würden die Basis aussehen, wenn \( \mathbb{C} \) ein \( \mathbb{C}\)-Vektorraum ist?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Wenn es zweidimensional wäre 1 und 0 und 0 und 1. ich weis nicht ob ich das mit i darstellen soll ?
─
muhammet199
23.11.2019 um 14:06
Als C vektorraum hätte ich klar 3 basen wegen der n=3 Dimension, aber ich weis nicht wie ich die darstellen soll ? Das ganze mit dem imaginären i irritiert mich
─
muhammet199
23.11.2019 um 14:10
Man kann ganz allgemein die komplexen Zahlen als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum darstellen. Wir haben dann den Basisivektor \( 1 \) und den Basisivektor \( i \).
Die Komplexe Zahl \( a+bi \) wird so zum Vektor \( (a,b) \).
Noch als Anmerkung zur Lösung dieser Aufgabe. Der Grundkörper eines Vektorraums, ist die Menge aus der wir unsere Skalare nehmen. Als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum multiplizieren wir also nur mit reellen Zahlen, mit \( \mathbb{C} \) als Grundkörper, darfst du mit komplexen Zahlen multiplizieren.
Das bedeutet im Fall der linearen Unabhängigkeit, das auch die \( \lambda \) reell bzw komplex sein dürfen. ─ christian_strack 23.11.2019 um 14:15
Die Komplexe Zahl \( a+bi \) wird so zum Vektor \( (a,b) \).
Noch als Anmerkung zur Lösung dieser Aufgabe. Der Grundkörper eines Vektorraums, ist die Menge aus der wir unsere Skalare nehmen. Als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum multiplizieren wir also nur mit reellen Zahlen, mit \( \mathbb{C} \) als Grundkörper, darfst du mit komplexen Zahlen multiplizieren.
Das bedeutet im Fall der linearen Unabhängigkeit, das auch die \( \lambda \) reell bzw komplex sein dürfen. ─ christian_strack 23.11.2019 um 14:15
Komme bei der b) nicht weiter
─
muhammet199
24.11.2019 um 11:22
Und wie löse ich das LGS bei a) zum zeigen der l. Unab. Mit den ganzen a+bi
─
muhammet199
24.11.2019 um 11:45
Ok gehen wir es nochmal durch.
a) Wir haben den \( \mathbb{R}\)-Vektorraum \( \mathbb{C}^3\). Das unser Vektorraum ein \( \mathbb{R}\)-Vektorraum ist, bedeutet das unser Grundkörper über dem wir arbeiten der Körper der reellen Zahlen ist.
Daraus folgt, dass wenn wir beispielsweise lineare Abhängigkeit zeigen wollen, die Skalare mit denen wir unsere Vektoren multiplizieren dürfen auch nur reell sein dürfen.
Gucken wir uns erstmal den \( \mathbb{R}\)-Vektorraum \( \mathbb{C} \) an. Für eine komplexe Zahl gilt
$$ a+bi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$
denn wir setzen die Basisvektoren
$$ 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\ i= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Jetzt gehen wir wieder zu \( \mathbb{C}^3 \). Also haben wir Vektoren der Form
$$ \begin{pmatrix} a+bi \\ c+di \\ e+fi \end{pmatrix} $$
wir haben also die selbe Struktur wie vorher nur eben jetzt 3x. Wir benötigen nun 6 Basisvektoren. Wie könnten diese aussehen?
Nun zur linearen Unabhängigkeit. Dafür müssen wir zeigen, das wenn
$$ \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c = 0 $$
gilt, alle \( \lambda_i = 0 \) sind.
Nun gilt aber \( \lambda_i \in \mathbb{R} \).
Kannst du das LGS nun aufstellen?
b) wir haben nun die komplexen Zahlen als Grundkörper. Das bedeutet wir können nun einfach alle Vektoren in
$$ \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c $$
einsetzen. Nun gilt aber \( \lambda_i \in \mathbb{C} \). Damit die Vektoren nun linear abhängig sind, musst du zeigen, das mindestens ein \( \lambda_i \neq 0 \) ist. ─ christian_strack 24.11.2019 um 16:09
a) Wir haben den \( \mathbb{R}\)-Vektorraum \( \mathbb{C}^3\). Das unser Vektorraum ein \( \mathbb{R}\)-Vektorraum ist, bedeutet das unser Grundkörper über dem wir arbeiten der Körper der reellen Zahlen ist.
Daraus folgt, dass wenn wir beispielsweise lineare Abhängigkeit zeigen wollen, die Skalare mit denen wir unsere Vektoren multiplizieren dürfen auch nur reell sein dürfen.
Gucken wir uns erstmal den \( \mathbb{R}\)-Vektorraum \( \mathbb{C} \) an. Für eine komplexe Zahl gilt
$$ a+bi = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$
denn wir setzen die Basisvektoren
$$ 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\ i= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Jetzt gehen wir wieder zu \( \mathbb{C}^3 \). Also haben wir Vektoren der Form
$$ \begin{pmatrix} a+bi \\ c+di \\ e+fi \end{pmatrix} $$
wir haben also die selbe Struktur wie vorher nur eben jetzt 3x. Wir benötigen nun 6 Basisvektoren. Wie könnten diese aussehen?
Nun zur linearen Unabhängigkeit. Dafür müssen wir zeigen, das wenn
$$ \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c = 0 $$
gilt, alle \( \lambda_i = 0 \) sind.
Nun gilt aber \( \lambda_i \in \mathbb{R} \).
Kannst du das LGS nun aufstellen?
b) wir haben nun die komplexen Zahlen als Grundkörper. Das bedeutet wir können nun einfach alle Vektoren in
$$ \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c $$
einsetzen. Nun gilt aber \( \lambda_i \in \mathbb{C} \). Damit die Vektoren nun linear abhängig sind, musst du zeigen, das mindestens ein \( \lambda_i \neq 0 \) ist. ─ christian_strack 24.11.2019 um 16:09