Hallo,
ich bin mir hier auch nicht ganz sicher, aber sage dir mal meine Gedanken dazu.
Geht es um beliebige \( n \) oder immer ein festes \( n \)?
Bei einem beliebigen \( n \), hast du die selben Restklassen wie für \( n=1 \), denn für verschiedene Potenzen werden alle möglichen Reste angenommen.
Ich denke deshalb aber, das es immer ein festes \( n \) sein soll.
Ich habe die Reste einfach mal durchgerechnet. Das ist eigentlich sehr schnell gemacht, da sich die Reste periodisch wiederholen.
Für \( 1^n \mod 5 \) erhalten wir natürlich immer den Rest \( 1 \) und für \( 5^n \mod 5 \) erhalten wir natürlich immer den Rest \( 0 \).
Diese beiden Restklassen sind also schon mal immer enthalten.
Für \( 2,3 \) und \( 4 \) gilt,
$$ \begin{array}{ccc} 2 \mod 5 & = & 2 \mod 5 \\ 2^2 \mod 5 & = & 4 \mod 5 \\ 2^3 \mod 5 & = & 3 \mod 5 \\ 2^4 \mod 5 & = & 1 \mod 5 \\ 2^5 \mod 5 & = & 2 \mod 5 \\ & \vdots \end{array} $$
Wir haben also die Reihenfolge
$$ 2 \to 4 \to 3 \to 1 \to 2 \to \ldots $$
Für
$$ 3^n \mod 5 $$
erhalten wir die Reihenfolge
$$ 3 \to 4 \to 2 \to 1 \to 3 \to \ldots $$
Für
$$ 4^n \mod 5 $$
erhalten wir
$$ 4 \to 1 \to 4 \to \ldots $$
Daraus kannst du nun für feste \( n \) die Restklassen bestimmen.
Grüße Christian
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