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Hallo,
hattet ihr schon die totale Differenzierbarkeit? Wenn eine Funktion total differenzierbar ist, dann ist sie auch in jede Richtung differenzierbar.
Für die b) überlege dir zwei Nullfolgen für \( x \) und \( y \), die wenn du sie einsetzt die Funktion nicht gegen \( f(x,y) = 0 \) gehen lassen.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Wenn ihr die totale Differenzierbarkeit noch nicht hattet, weiß ich nicht ob ihr das nutzen dürft.
Du hast den Ursprung als Punkt eingesetzt. Sollst du prüfen ob die Richtungsableitung in jede Richtung im Ursprung existiert? Das hattest du nämlich nicht geschrieben. Dann nutze die Definition der Richtungsableitung
$$ D_vf(\vec{x}) = \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(\vec{x} + h \vec{v}) - f(\vec{x})} h $$
Wenn du da dann \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) einsetzt, erhälst du
$$ D_vf(0,0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac {\frac {hv_x + (hv_y)^2} {(hv_x)^2 + (hv_y)^4} - 0} h $$
Wenn der Grenwert existiert, existiert die Richtungsableitung in jede Richtung vom Ursprung aus.
Zur b)
Deins kann ich gerade nicht 100% nachvollziehen.
Es exisitert der Begriff der Folgenstetigkeit. Eine Funktion ist genau dann in einem Punkt stetig, wenn alle Folgen die den \(x\)-Wert als Grenzwert haben, den selben Funktionswert haben. Nämlich den Funktionswert vom Punkt.
Nimm mal die Folge
$$ a_n = (x_n,y_n) = (\frac 1 {n^2} , \frac 1 n) $$
Dies sind beides Nullfolgen. Somit muss eingesetzt Null herauskommen, wenn wir \( n \) gegen unendlich streben lassen
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac {x_n \cdot y_n^2} {x_n^2 + y_n^4} $$
Kannst du den Grenzwert berechnen?
Grüße Christian ─ christian_strack 25.11.2019 um 20:42
Du hast den Ursprung als Punkt eingesetzt. Sollst du prüfen ob die Richtungsableitung in jede Richtung im Ursprung existiert? Das hattest du nämlich nicht geschrieben. Dann nutze die Definition der Richtungsableitung
$$ D_vf(\vec{x}) = \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(\vec{x} + h \vec{v}) - f(\vec{x})} h $$
Wenn du da dann \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) einsetzt, erhälst du
$$ D_vf(0,0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac {\frac {hv_x + (hv_y)^2} {(hv_x)^2 + (hv_y)^4} - 0} h $$
Wenn der Grenwert existiert, existiert die Richtungsableitung in jede Richtung vom Ursprung aus.
Zur b)
Deins kann ich gerade nicht 100% nachvollziehen.
Es exisitert der Begriff der Folgenstetigkeit. Eine Funktion ist genau dann in einem Punkt stetig, wenn alle Folgen die den \(x\)-Wert als Grenzwert haben, den selben Funktionswert haben. Nämlich den Funktionswert vom Punkt.
Nimm mal die Folge
$$ a_n = (x_n,y_n) = (\frac 1 {n^2} , \frac 1 n) $$
Dies sind beides Nullfolgen. Somit muss eingesetzt Null herauskommen, wenn wir \( n \) gegen unendlich streben lassen
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac {x_n \cdot y_n^2} {x_n^2 + y_n^4} $$
Kannst du den Grenzwert berechnen?
Grüße Christian ─ christian_strack 25.11.2019 um 20:42
Doch, also diese Formel oben hatten wir schon - sie steht nur nicht unter totalen Differenzierbarkeit im Skript.
Und ja, wir sollen die Differenzierbarkeit in (0,0) zeigen - und in der b eben somit dass es Fkt gibt, die in einem Punkt differenzierbar aber nicht stetig.
Geht das dann so wie ich es gemacht habe?
Also meine Idee bei der b war, dass ich mit verschiedenen Richtungsvektoren h an den Punkt (0,0) herangehe; also quasi aus zwei verschiedenen Richtungen. Und ich dachte, dass wenn diese unterschiedliche Grenzwerte besitzen, dies die Stetigkeit in diesem Punkt ausschliesst.
Wenn das so nicht geht, Probiere ich es morgen einmal so wie du das gemacht hast ─ anonym59494 25.11.2019 um 20:53
Und ja, wir sollen die Differenzierbarkeit in (0,0) zeigen - und in der b eben somit dass es Fkt gibt, die in einem Punkt differenzierbar aber nicht stetig.
Geht das dann so wie ich es gemacht habe?
Also meine Idee bei der b war, dass ich mit verschiedenen Richtungsvektoren h an den Punkt (0,0) herangehe; also quasi aus zwei verschiedenen Richtungen. Und ich dachte, dass wenn diese unterschiedliche Grenzwerte besitzen, dies die Stetigkeit in diesem Punkt ausschliesst.
Wenn das so nicht geht, Probiere ich es morgen einmal so wie du das gemacht hast ─ anonym59494 25.11.2019 um 20:53
Also bei der a) habe ich jetzt mit der Formel, die Du noch geschrieben hast, den Grenzwert für h gegen null berechnet und vx/vy als Ergebnis bekommen.
Beim Zähler hat man ja sofort h^3 * vx * (vy)^2
Den Zähler kann man zum h im „grossen“ Nenner runterziehen, aus den beiden Termen jeweils ein h^2 rausziehen und diese kürzen.
Dann bleibt der Term (vx*vy) / ( (vx)^2 + h^2 * (vy)^4) übrig
Für h gegen 0 bleibt im Nenner nur der vordere Teil übrig und es kürzt sich ein vx weg, und vx/vy bleibt ─ anonym59494 25.11.2019 um 21:11
Beim Zähler hat man ja sofort h^3 * vx * (vy)^2
Den Zähler kann man zum h im „grossen“ Nenner runterziehen, aus den beiden Termen jeweils ein h^2 rausziehen und diese kürzen.
Dann bleibt der Term (vx*vy) / ( (vx)^2 + h^2 * (vy)^4) übrig
Für h gegen 0 bleibt im Nenner nur der vordere Teil übrig und es kürzt sich ein vx weg, und vx/vy bleibt ─ anonym59494 25.11.2019 um 21:11
Und bei der b) komme ich wenn ich an = (1/n^2 , 1/n) einsetze den Grenzwert 1/2 heraus, was nicht mit f(0,0) übereinstimmt —> nicht stetig
─
anonym59494
26.11.2019 um 08:45
Ah ok ja dann kannst du bei der a) beides machen. Im Prinzip kommt es auf das selbe hinaus also nimm das was dir lieber ist :)
Genau bei der b) bekommt man den Grenzwert \( \frac 1 2 \neq 0 \) und deshalb ist die Funktion im Ursprung nicht stetig.
Ah da stand ich gestern etwas auf dem Schlauch. Ja natürlich auch hier kannst du deinen Weg nutzen :) ─ christian_strack 26.11.2019 um 16:48
Genau bei der b) bekommt man den Grenzwert \( \frac 1 2 \neq 0 \) und deshalb ist die Funktion im Ursprung nicht stetig.
Ah da stand ich gestern etwas auf dem Schlauch. Ja natürlich auch hier kannst du deinen Weg nutzen :) ─ christian_strack 26.11.2019 um 16:48
Okay, dann habe ich das verstanden aber noch ein Problem bei der a:
Ich habe den Ansatz genommen mit dem Richtungsvektor im Punkt (0,0)
Dort habe ich aber, wenn ich h gegen 0 laufen lasse, den Grenzwert vy^2/vx heraus - aber das würde doch bedeuten, dass v nicht beliebig ist weil vx ungleich 0 sein muss...
Habe ich mich verrechnet oder einen Denkfehler? ─ anonym59494 26.11.2019 um 18:16
Ich habe den Ansatz genommen mit dem Richtungsvektor im Punkt (0,0)
Dort habe ich aber, wenn ich h gegen 0 laufen lasse, den Grenzwert vy^2/vx heraus - aber das würde doch bedeuten, dass v nicht beliebig ist weil vx ungleich 0 sein muss...
Habe ich mich verrechnet oder einen Denkfehler? ─ anonym59494 26.11.2019 um 18:16
wir machen noch eine kleine Fallunterscheidung. Wir erhalten nach kürzen den Limes
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {v_xv_y^2} {v_x^2 + h^2 v_y^4} $$
Wenn jetzt \( v_x \neq 0 \), erhalten wir den Grenzwert
$$ \frac {v_xv_y^2} {v_x^2} $$
Für den Fall \( v_x = 0 \) gilt
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {0 \cdot v_y^2} {0 + h^2 v_y^4} = \lim\limits_{h \to 0} 0 = 0 $$
Da der Bruch schon vor der Grenzwertbetrachtung zu Null wird, ist der Grenzwert auch Null.
Grüße Christian ─ christian_strack 26.11.2019 um 20:20
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {v_xv_y^2} {v_x^2 + h^2 v_y^4} $$
Wenn jetzt \( v_x \neq 0 \), erhalten wir den Grenzwert
$$ \frac {v_xv_y^2} {v_x^2} $$
Für den Fall \( v_x = 0 \) gilt
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac {0 \cdot v_y^2} {0 + h^2 v_y^4} = \lim\limits_{h \to 0} 0 = 0 $$
Da der Bruch schon vor der Grenzwertbetrachtung zu Null wird, ist der Grenzwert auch Null.
Grüße Christian ─ christian_strack 26.11.2019 um 20:20
Ich danke Dir viemals Christian, Du hast mir das wirklich viel verständlicher gemacht!!!
─
anonym59494
26.11.2019 um 20:25
Sehr gerne. Das freut mich sehr zu hören :)
Grüße Christian ─ christian_strack 26.11.2019 um 20:38
Grüße Christian ─ christian_strack 26.11.2019 um 20:38
Danke für die Antwort.
Den Begriff explizit hatten wir nicht, aber nach kurzem googlen hab ich gesehen die Formel hatten wir bei der L(h) gefunden werden soll.
Hier was ich jetzt gemacht habe:
A)
Lim h gegen 0 (f(a+h) - f(a) - L(h)) / ||h||
Dann die Formel einsetzen, den Ursprung als a einsetzen, binomische Formeln lösen und dann erhält man:
Limes h gegen 0 (h1 * (h2)^2 - L(h)) / ( (h1)^2 + (h2)^4) * ||h||
Und da dieser Ausdruck null ergeben muss, ist L(h) gleich h1 * h2^2 (?)
B)
Hier habe ich für zwei verschiedene Vektoren h die Umgebung um den Punkt (0,0) betrachtet
Einmal für h1=0 , h2 beliebig ungleich 0
Hier ist der limes h gegen 0 von f(a+h) -f(a) / ||h|| wenn man die Formel der Funktion und für a den Punkt (0,0) und für h1 auch 0 einsetzt, dann bekommt man: limes 0/(h2)^5 = 0
Wenn man den Vektor h betrachtet mit h1=h2, in die Formel oben einsetzt, Punkt (0,0) berücksichtigt, Funktion einsetzt, dann bekommt man nach Umformungen: limes 1/ (sqrt(2) * 1+h^2) was ungleich null ist.
Also ist die Fkt nicht stetig in dem Ursprung
Ist das so wie du meintest, oder wo liege ich noch falsch bei a oder b? ─ anonym59494 25.11.2019 um 18:34