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Hallo,
bis auf die i) hast du alles richtig. Bei der i) musst du auch die Produktregel anwenden.
$$ f(x) = x^2 \cdot \ln(x) $$
$$ f'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac 1 x \\ 2x \cdot \ln(x) + x $$
Für die e) nutze die Kettenregel.
$$ f(x) = g(h(x)) = \sqrt{x^2 -1} $$
Die innere Funktion ist denke ich klar
$$ h'(x) = 2x $$
Für die äußere Funktion nutzen wir die Potenzgesetze
$$ g(x) = \sqrt{x} = x^{\frac 1 2} $$
Das können wir nun wie gehabt ableiten.
$$ g'(x) = \frac 1 2 \cdot x^{- \frac 1 2 }$$
Das können wir wieder umformen und erhalten
$$ g'(x) = \frac 1 {2\sqrt{x}} $$
Setzen wir alles in die Kettenregel ein, erhalten wir
$$ f'(x) = \frac 1 {2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac {2x} {2\sqrt{x^2 -1}} $$
Für die j) nutzen wir zuerst die Quotientenregel
$$ f(x) = \frac {g(x)} {h(x)} = \frac {1+x^2} {(1-x^2)^3} $$
Nun gilt für die Zählerfunktion
$$ g'(x) = 2x $$
Für die Nennerfunktion müssen wir die Kettenregel nutzen
$$ h(x) = u(v(x)) = (1-x^2)^3 $$
mit
$$ u(x) = x^3 $$
und
$$ v(x) = 1-x^2 $$
Schaffst du es die Ableitung aufzustellen?
Noch als Tipp. Es ist hier zwar nicht gefordert in der Aufgabe, aber da du später häufig mit den Ableitungen rechnen musst, würde ich mir direkt angewöhnen die Ableitungen weiter zusammenzufassen. :)
Grüße Christian
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$$ u'(x) = 3x^2 $$
und
$$ v'(x) -2x $$
Nun setzen wir in die Kettenregel ein und erhalten
$$ h'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 3 (1-x^2)^2 \cdot (-2x) =-6x \cdot (1-x^2)^2 $$
Als letztes setzen wir in die Quotientenregel ein
$$ f'(x) = \frac {g'(x) \cdot h(x) - h'(x) \cdot g(x)} {(g(x))^2} = \frac {2x \cdot (1-x^2)^3 - (-6x \cdot (1-x^2)^2) \cdot (1+x^2)} {((1-x^2)^3)^2} = \frac {2x \cdot (1-x^2)^3 + 6x \cdot (1-x^2)^2 \cdot (1+x^2)} {(1-x^2)^6} $$
Wir könnten hier noch \( (1-x^2)^2 \) kürzen und würden
$$ f'(x) = \frac {2x \cdot (1-x^2) + 6x \cdot (1+x^2)} {(1-x^2)^4} = \frac {2x - 2x^3 + 6x + 6x^3} {(1-x^2)^4} = \frac {4x^3 + 8x} {(1-x^2)^4} $$
erhalten.
Grüße Christian ─ christian_strack 30.11.2019 um 10:39