Endlich viele Nullstellen

Aufrufe: 1048     Aktiv: 07.12.2019 um 10:27
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Hallo,

ich knabbere aktuell an der folgenden Aufgabe:

 

Gegeben:

I. Auf [a, b] differenzierbare Funktion f, 

II. Für alle x ∈ [a, b] gilt |f(x)| + |f'(x)| <> 0.

 

Zu beweisen: f hat in [a, b] nur endlich viele Nullstellen.

 

Aus I: Da die Funktion f ist auf [a, b] differenzierbar, folgt daraus, dass die Funktion in [a, b] stetig ist.
Aus II: An keiner Stelle x ∈ [a, b] gilt gleichzeitig f(x) = 0 und f'(x) = 0

Was fange ich mit I und II an? 
Wie ist der nächste Schritt?

Ich habe im Web schon einige Beweise gefunden, die es mit einem Widerspruch bzgl. unendlich vieler Nullstellen versucht haben.

Gibt es denn keinen Beweis, der das direkt zeigt?

VG, Adrian

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Hallo,

ich bin mir nicht 100% sicher , aber vielleicht können wir ja zusammen einen basteln :)

Das  \( f(x) \) und \( f'(x) \) keine gleichen Nullstellen haben, bedeutet das jede Nullstelle von \( f(x) \) eine einfache Nullstelle ist.

Desweiteren bedeutet es, dass bei den Nullstellen der Graph die \(x\)-Achse tatsächlich schneidet und nicht nur berührt. 

Ich denke dadurch kann man zeigen, dass zwische zwei Nullstellen immer ein offenes Intervall ohne Nullstellen ist. Da wir nun aber ein Intervall endlicher Länge haben würde ich sagen, können wir nur endlich viele Intervalle finden, zwischen denen noch offene Intervalle liegen deren Länge nicht gegen Null geht. 
Denn würde die Länge dieser Intervalle gegen Null gehen, dann hätten wir im Grenzfall doppelte Nullstellen.

Was meinst du dazu?

 

Grüße Christian

 

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Zusammen basteln hört sich ganz gut an. Muss mir später Deine Idee mal genauer durchdenken.   ─   adrian142 05.12.2019 um 15:30

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