Hallo,
soweit hast du das schon richtig verstanden und ich denke der einzige Weg sind tatsächlich stückweise definierte Funktionen. Allerdings sind zwei Funktion nur linear unabhängig, wenn sie auch für alle \( x \) linear unabhängig sind. Das ist bei dir nicht gegeben, da für nicht negative \( x \) beide Funktionen gleich sind und somit linear abhängig. Das bedeutet, dass die Funktionen lokal linear abhängig sind.
Ich muss ehrlich sagen ich probiere schon eine Zeit etwas herum, aber irgendwie komme ich immer auf Funktionen, die mindestens für \( x=0 \) linear abhängig sind. Ich dachte da an Funktionen wie
$$ f_1 = \left\{ \begin{matrix} x+1, & \text{für} \ x\geq 0 \\ 1, & \text{für} \ x < 0 \end{matrix} \right. $$
$$ f_2 = \left\{ \begin{matrix} 1, & \text{für} \ x\geq 0 \\ x+1, & \text{für} \ x < 0 \end{matrix} \right. $$
Ich überlege auch nochmal etwas weiter. Vielleicht fällt mir noch was ein.
Grüße Christian
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