Guten Morgen :D

ich steck bei der Aufgabe leider fest:

Aufgabe:

Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume über \( \mathbb{R} \) mit Basen \( B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right) \) bzw. \( C=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) Sei \( f: V \rightarrow W \) linear, gegeben durch \( c[f]_{B}=\left(\begin{array}{cccc}{1} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right) \)
Geben Sie die Koordinaten von \( f\left(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\right) \) bezüglich der Basis \( C \) an. Ist \( f \) injektiv? Ist \( f \) surjektiv? Liegt \( 3 w_{1}+5 w_{2} \) in im(f)?

Problem/Ansatz:

Habe versucht das \(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\) in die Matrix zeilenweise einzurechnen im LGS. Habe 2 frei wählbare Variablen am Ende raus wie bekomme ich dadurch mein Koordinatenvektor? Oder habe ich den falschen Weg eingeschlagen? Vielen Dank im Voraus für eure Mühen und Hilfen :)