Question

Probleme bei der Konvergenzüberprüfung

Aufrufe: 1061 Aktiv: 12.12.2019 um 10:18

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Guten Morgen matheFragen-Community,

ich habe leider beim Überprüfen der Konvergenz Probleme. Ich habe das Thema recht gut verstanden und die Übungen konnte ich ebenfalls meistern, jedoch bei diesen Aufgaben fehlt es mir an Einsicht und Methoden denke ich. Ich habe beispielsweise jetzt bei b) (a) habe ich erstmals übersprungen, weil das ziemlich schwer aussah, falls dazu auch ein Ansatz geschrieben wird wäre ich sehr dankbar) das Quotientenkriterium benutzt habe einen langen Bruch rausbekommen jedoch weiß ich nicht was ich da noch kürzen kann. Außerdem besser Wurzel- oder Quotientenkriterium? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar. Danke im Voraus für die Mühen und Hilfen.

Untersuchen Sie die Reihen $ \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} $ für vier der nachstehenden fünf Folgen $ \left(a_{n}\right) $ auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
(a) $ \quad a_{n}=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {3}\end{array}\right) \frac{(2+3 i)^{n}}{2^{2 n}} $
(b) $ \quad a_{n}=\frac{(-n)^{n}}{(n+1)^{n+1}} $
(c) $ \quad a_{n}=(-1)^{n} \frac{2 n-4\left[\frac{n}{2}\right]+2}{n} $
(d) $ a_{n}=\frac{(4+5 i)^{n}}{n^{2} 6^{n}} $
(e) $ a_{n}=\frac{(1+i \sqrt{3})^{n}}{2^{n} \sqrt[n]{n !}} $
Benennen Sie die Konvergenzkriterien für Reihen, die Sie benutzt haben.

Mein Weg zu b):

$ \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}}}{\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{(n+1)^{n+1} \cdot(n+1)^{n+1}}{n^{n} \cdot(n+2)^{n+2}}=\frac{(n+1)^{n} \cdot(n+1) \cdot(n+1)^{n+1}}{n^{n} \cdot(n+2)^{n+2}} $

Meine überarbeiteten Lösungswege:

a)

b)

c)

d)

Hoffe es ist lesbar. Ist wortwörtlich mein Schmierblatt ^^

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gefragt 08.12.2019 um 11:03

xxtriplefxx
Student, Punkte: 35

Habe mit dem Minorantenkriterium: Konvergenz raus ist das richtig? ─ xxtriplefxx 08.12.2019 um 15:00

Das einzige was ich hinbekommen hab von denen ist c) über Leibniz, bei deiner b) bin ich mir nicht so ganz sicher wie du zb schon ganz am Anfang auf (n+1)^(n+1) ganz oben kommst... Jedenfalls hätte ich auch bei b) Leibniz angewendet, man kann schnell zeigen dass n^n/((n+1)^(n+1)) eine Nullfolge ist, nur bei der Monotonie bin ich mir nicht ganz sicher wie man das macht ... Die b) sollte aber m.E konvergent sein ─ linearealgebruh 08.12.2019 um 15:23

Vielen Dank für deine Mühen. Konvergenz habe ich auch raus aber mit dem Minorantenkriterium. Darf ich das so benutzen? Fand ich gestern Abend viel einfacher zum verstehen und konnte es dann sofort anwenden. ─ xxtriplefxx 09.12.2019 um 12:22

Welche Minorante hast du für welche Reihe genutzt?
Aber klar darfst du auch das Kriterium nutzen :) ─ christian_strack 09.12.2019 um 12:39

Habe für b): (-n)^n / (n+1)^(n+1) + n
Und für c): (-1)^n * (2n-(4n/2)+2) / n+n

Habe es so verstanden dass ich einfach +n beim nenneer machen soll bzw machen kann dann nur noch wegkürzen ─ xxtriplefxx 09.12.2019 um 12:48

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1 Antwort

christian_strack · Accepted Answer · 2019-12-08T18:11:47Z

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Hallo,

erstmal ganz allgemein. Man kann schlecht pauschalisieren, wann welches Kriterium wirklich am sinnvollsten ist. Ich würde es meistens zuerst mit dem Quotientenkriterum versuchen, außer man sieht das sich viele Exponenten vereinfachen, wenn man sie durch $ n $ teilt.
Man bekommt mit der Zeit ein besseres Gespühr dafür, welches Kriterium dich voraussichtlich zum Ziel führt.

Gehen wir die einzelnen Reihen mal zusammen durch

$$ \binom{n}{3} \frac {(2+3i)^n} {2^{2n}} = \frac {n!} {3! (n-3)!} \cdot \frac {(2+3i)^n} {4^n} $$

Wir haben hier zweimal den Exponenten $ n $, also würde sich hier das Wurzelkriterium anbieten. Als Tipp dafür

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 $$

Die b) formen wir noch etwas um

$$ \frac {(-n)^n} {(n+1)^{n+1}} = (-1)^n \frac {n^n} {(n+1)^{n+1}} $$

Hier bietet sich das Leibnitzkriterium an, da Quotientenkriterium und Wurzelkriterium keine Aussage über die Konvergenz geben können.

Die Monotonie zu zeigen ist hier auf jeden Fall nicht sehr einfach und mir fällt auch gerade nur ein Weg ein bei dem ich mir nicht sicher bin ob ihr diesen nutzen dürft.

Wenn man

$$ f(x) = \frac {x^x} {(x+1)^{x+1}} $$

definiert und differenziert, erhält meine eine Ableitung für die man zeigen kann, das diese für die natürlichen Zahlen immer kleiner gleich Null ist. Somit ist diese Funktion monoton fallend.

Aber ich nehme an da ihr bei Reihen seid, dürft ihr die Methoden des Differenzierens nicht nutzen. Ich überlege mal noch weiter ob mir noch ein andere Weg einfällt.

c) Wie linearealgebruh bereits sagt ist hier Leibnitz zielführend.

d) & e) Hier haben kürzen sich wieder fast alle Exponenten, wenn wir diese durch $ n $ teilen, deshalb nehmen wir wieder das Wurzelkriterium.

Versuch dich selbst nochmal etwas, ich gucke gerne nochmal über deine Lösungen drüber.

Grüße Christian

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geantwortet 08.12.2019 um 18:11

christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

Vielen Dank für deine Mühen das aufzuschreiben und deine ausführlichen Vorschläge werde das nochmal versuchen. Habe aber mir bei Daniel Jung das Minoranten und Majorantenkriterium beigebracht. An sich ein sehr einfaches Prinzip. Und damit habe ich Teilaufgaben b und c gelöst. A und d habe ich mit dem Wurzelkriterium gelöst. Bei e hatte ich bisher keinen Ansatz werde es aber mal mit dem Wurzelkriterium versuchen. Habe bei als Ergebnisse raus:

a) : für n=1-3 konvergiert sonst divergiert es (War mir aber sehr unsicher weil mich der Binomialkoeffizient verwirrt hat, werde das gleich nochmal wiederholen)
b) : konvergiert
c) : divergiert
d) : divergiert ─ xxtriplefxx 09.12.2019 um 12:40

Hi xxtriplefxx,

Zwei Dinge:
-"Konvergenz habe ich auch raus aber mit dem Minorantenkriterium", mit dem Minorantenkriterium zeigt man aber Divergenz keine Konvergenz (meinst wsl. Majorantenkrit.)
-"für n=1-3 konvergiert sonst divergiert es" macht keinen Sinn. n läuft gegen unendlich und ist kein Parameter??

Damit man dir besser helfen kann, wäre es noch ganz nützlich wenn du reinschickst wie du genau auf die Lösungen gekommen bist :) ─ crazyfroggerino 09.12.2019 um 13:20

Vielen Dank für deine Antwort und deine Hinweise! Meine Lösungwege werde ich oben bei der Fragestellung als Bilder hinzufügen :) Und bei n = 1-3 da war ich wohl zu müde gestern und habe in die falsche Richtung gedacht *facepalm* Danke für den Hinweis ^^

─ xxtriplefxx 09.12.2019 um 13:58

Zur a)
Du nutzt das Wurzelkriterium. Deshalb musst du den Grenzwert deiner Koeffizientenfolge bestimmen.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \sqrt[n]{\frac {n!} {6(n-3)!}} \cdot \frac {2+3i} 4 \right| $$
Diesen Grenzwert musst du noch berechnen. Nutze meinen Hinweis und die Grenzwertsätze.

zur b)
hattet ihr in der Vorlesung, das die Reihe
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac {(-n)^n} {(n+1)^{n+1} +n} $$
konvergiert? Denn ansonsten musst du zeigen, das diese Reihe konvergiert, ansonsten hast du keine Majorante gefunden.

zur c) Das selbe wie bei der b). Ich befürchte, dass Daniel in seinem Video zum Nenner $ +n $ addiert, um eine bekannte Reihe zu erzeugen. Das funktioniert so nicht immer. Hier würde ich ganz klar zum Leibnitzs Kriterium tendieren, da die Monotonie dieser Folge nicht allzu schwer zu zeigen ist.
Außerdem guck nochmal in deine Unterlagen, ob die eckige Klammer nicht vielleicht eher so $ \lfloor \ \rfloor $ bzw. so $ \lceil \ \rceil $ aussieht, ansonsten finde ich die eckige Klammer da sehr seltsam gewählt.

zur d) hier musst du auch noch den Grenzwert von $ \frac 1 {\sqrt[n]{n^2}} $ bestimmen. Bedenke wieder meinen Tipp aus a).

zur e)
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \frac {(1+i\sqrt{3})^n} {2^n \cdot \sqrt[n]{n!}} \right| } = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac {1+i \sqrt{3}} {2 \cdot \sqrt{n^2}{n!}} \right| $$

Auch hier wie gehabt nutze den Tipp den ich dir in a) gab.
Versuch dich nochmal :)

Zur a)
Du nutzt das Wurzelkriterium. Deshalb musst du den Grenzwert deiner Koeffizientenfolge bestimmen. 
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \sqrt[n]{\frac {n!} {6(n-3)!}} \cdot \frac {2+3i}  4 \right| $$
Diesen Grenzwert musst du noch berechnen. Nutze meinen Hinweis und die Grenzwertsätze.

zur b)
hattet ihr in der Vorlesung, das die Reihe
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac {(-n)^n} {(n+1)^{n+1} +n} $$
konvergiert? Denn ansonsten musst du zeigen, das diese Reihe konvergiert, ansonsten hast du keine Majorante gefunden.

zur c) Das selbe wie bei der b). Ich befürchte, dass Daniel in seinem Video zum Nenner $ +n $ addiert, um eine bekannte Reihe zu erzeugen. Das funktioniert so nicht immer. Hier würde ich ganz klar zum Leibnitzs Kriterium tendieren, da die Monotonie dieser Folge nicht allzu schwer zu zeigen ist. 
Außerdem guck nochmal in deine Unterlagen, ob die eckige Klammer nicht vielleicht eher so $ \lfloor \ \rfloor $ bzw. so $ \lceil \ \rceil $ aussieht, ansonsten finde ich die eckige Klammer da sehr seltsam gewählt.

zur d) hier musst du auch noch den Grenzwert von $ \frac 1 {\sqrt[n]{n^2}} $ bestimmen. Bedenke wieder meinen Tipp aus a).

zur e) 
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \frac {(1+i\sqrt{3})^n} {2^n \cdot \sqrt[n]{n!}} \right| } = \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac {1+i \sqrt{3}} {2 \cdot \sqrt{n^2}{n!}} \right| $$

Auch hier wie gehabt nutze den Tipp den ich dir in a) gab.
Versuch dich nochmal :)

─ christian_strack 09.12.2019 um 16:37

Vielen Dank für die Hinweise werde mich nochmal ransetzen :) Und zu den Klammern wir hatten normale eckigen Klammern stehen.
Schönen Abend noch. ─ xxtriplefxx 09.12.2019 um 16:45

Alles klar. Ich gucke gerne nochmal drüber :)
Wünsche ich dir auch. ─ christian_strack 09.12.2019 um 16:46

Guten Abend,
Habe jetzt a aktualisiert ist das jetzt mit der Schreibweise richtig? Und außerdem bin ich mir jetzt wegen dem i unsicher ob es divergiert oder konvergiert. Gibt es da eine Regel zu? ─ xxtriplefxx 10.12.2019 um 18:29

Teilaufgabe b habe ich ebenfalls aktualisiert nur wie bestimme ich die Monotonie einer Funktion die eine Asymptote zur 0 ist? Früher in der Oberstufe y=0 x herausgefunden und links und rechts jeweils geschaut wie es aussieht aber hier fällt mir keine Methode ein die ich benutzen könnte. Notfalls schreibe ich einfach siehe GTR sowie früher im Gymnasium oder ist es in den Unis verboten? ─ xxtriplefxx 10.12.2019 um 19:32

Der Betrag einer komplexen Zahl ist folgendermaßen definiert
$$ \vert z \vert = z \cdot \overline{z} = \sqrt{ a^2 + b^2} $$
wobei $ \overline{z} $ das komplex konjugierte ist. Dadurch erhalten wir auch eine reelle Zahl und können somit sagen ob diese größer oder kleiner als $ 1 $ ist.
Ich würde übrigens noch eine kleine Notiz mehr aufschreiben, falls ihr in der Vorlesung noch nicht den Grenzwert von
$$ \sqrt[n]{\frac {n!} {6(n-3)!}} $$
berechnet habt.
Wir dürfen die Grenzwertsätze nutzen, also
Also können wir den Zähler und Nenner einzeln überprüfen, solange diese konvergieren. Da $ n! $ ein Produkt ist und $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $ bzw $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 $ gilt, geht jeder Faktor des Nenners und Zählers gegen $ 1 $ und somit der ganze Bruch.

zur b) an sich müsstest du jetzt noch zeigen, das diese Ableitung immer negativ ist für $ n \in \mathbb{N} $. Allerdings will ich nochmal zu denken geben, das ihr diese Methode eventuell nicht nutzen dürft, da ich ihr vermutlich in der Vorlesung noch nicht mit Ableitungen gerechnet habt oder?

Der Betrag einer komplexen Zahl ist folgendermaßen definiert
$$ \vert z \vert = z \cdot \overline{z} = \sqrt{ a^2 + b^2} $$
wobei $ \overline{z} $ das komplex konjugierte ist. Dadurch erhalten wir auch eine reelle Zahl und können somit sagen ob diese größer oder kleiner als $ 1 $ ist.
Ich würde übrigens noch eine kleine Notiz mehr aufschreiben, falls ihr in der Vorlesung noch nicht den Grenzwert von
$$ \sqrt[n]{\frac {n!} {6(n-3)!}} $$ 
berechnet habt.
Wir dürfen die Grenzwertsätze nutzen, also
Also können wir den Zähler und Nenner einzeln überprüfen, solange diese konvergieren. Da $ n!  $ ein Produkt ist und $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $ bzw $ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 $ gilt, geht jeder Faktor des Nenners und Zählers gegen $ 1 $ und somit der ganze Bruch.
 
zur b) an sich müsstest du jetzt noch zeigen, das diese Ableitung immer negativ ist für $ n \in \mathbb{N} $. Allerdings will ich nochmal zu denken geben, das ihr diese Methode eventuell nicht nutzen dürft, da ich ihr vermutlich in der Vorlesung noch nicht mit Ableitungen gerechnet habt oder?

─ christian_strack 12.12.2019 um 10:18

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