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Hallo,
was hast du den bis jetzt probiert? Ein paar Axiome sollten doch geklappt haben, so wie beispielsweise die Existenz des Nullvektors.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Ok, dann muss ich erstmal herausfinden was Axiome sind und wie man die Existenz des Nullvektors bestimmt.
Vielleicht finde ich somit ja einen Ansatz. Danke erstmal ─ mythrandir34 09.12.2019 um 22:03
Vielleicht finde ich somit ja einen Ansatz. Danke erstmal ─ mythrandir34 09.12.2019 um 22:03
Axiome sind eine Aussage die nicht irgendwo her abgeleitet wird. Man nutzt sie um etwas zu definieren. Die Axiome eines Vektorraums findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum
Das sind die Eigenschaften, die einen Vektorraum definieren.
Um zu zeigen, das ein Vektorraum vorliegt muss man zeigen das diese Axiome erfüllt sind.
Nun gucken wir uns nochmal kurz an was genau ein Vektorraum ist.
Ein Vektorraum besteht aus einer Menge \( V \), einem Körper \( (K,+, \cdot ) \), und zwei Verknüpfungen (der sogenanten Vektoraddition und skalaren Multiplikation).
Nehmen wir mal deinen ersten Fall. Die Menge die du hast besteht aus allen Zahlenparren, die die Gleichung
$$ 2x = 3y $$
erfüllen. Um sich das besser vorzustellen, kann man die Gleichung auch umschreiben zu
$$ y = \frac 2 3 x $$
Nun sieht man schon eher, das es sich um eine sogenannte Ursprungsgerade handelt.
Der Körper den wir haben sind die reellen Zahlen, mit der gewöhnlichen Addition bzw Multiplikation.
$$ ( \mathbb{R}, + , \cdot) $$
Jetzt ist nicht weiteres angegeben, deshalb gehe ich davon aus, das deine Vektoraddition und skalare Multiplikation diese sind, die man auch schon in der Schule behandelt hat. Also das komponentenweise addieren bzw das multiplizieren jeder Koordinate mit dem skalar
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix} $$
und
$$ \lambda \odot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot x \\ \lambda \cdot y \end{pmatrix} $$
Ist das alles soweit erstmal verständlich?
Wenn du dir nun die Axiome aus dem Link anguckst, musst du nun zeigen, das diese mit den oben genannten Eigenschaften für Elemente aus \( U_1 \) gilt.
Ich zeige dir mal das erste (mit \( \oplus \) ist die Vektoraddition und mit \( \odot \) die skalare Multiplikation)
$$ A1: \ u \oplus ( v \oplus w ) = (u \oplus v) \oplus w \quad \text{(Assoziativität)} $$
Wir nehmen uns also mal drei Vektoren her
$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \oplus \left( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} \right) = \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) \oplus \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} $$
Wir können beide Seiten ausrechnen und erhalten
$$ \begin{pmatrix} x_1 + (x_2 + x_3) \\ y_1 + ( y_2 + y_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2) + x_3 \\ (y_1 + y_2) + y_3 \end{pmatrix} $$
Diese Gleichheit gilt, da die gewöhnliche Addition assoziativ ist.
Versuch dich mal mit den Axiomen auseinander zu setzen. Ich gucke gerne nochmal über deine Versuche drüber :)
Grüße Christian ─ christian_strack 09.12.2019 um 22:31
Das sind die Eigenschaften, die einen Vektorraum definieren.
Um zu zeigen, das ein Vektorraum vorliegt muss man zeigen das diese Axiome erfüllt sind.
Nun gucken wir uns nochmal kurz an was genau ein Vektorraum ist.
Ein Vektorraum besteht aus einer Menge \( V \), einem Körper \( (K,+, \cdot ) \), und zwei Verknüpfungen (der sogenanten Vektoraddition und skalaren Multiplikation).
Nehmen wir mal deinen ersten Fall. Die Menge die du hast besteht aus allen Zahlenparren, die die Gleichung
$$ 2x = 3y $$
erfüllen. Um sich das besser vorzustellen, kann man die Gleichung auch umschreiben zu
$$ y = \frac 2 3 x $$
Nun sieht man schon eher, das es sich um eine sogenannte Ursprungsgerade handelt.
Der Körper den wir haben sind die reellen Zahlen, mit der gewöhnlichen Addition bzw Multiplikation.
$$ ( \mathbb{R}, + , \cdot) $$
Jetzt ist nicht weiteres angegeben, deshalb gehe ich davon aus, das deine Vektoraddition und skalare Multiplikation diese sind, die man auch schon in der Schule behandelt hat. Also das komponentenweise addieren bzw das multiplizieren jeder Koordinate mit dem skalar
$$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix} $$
und
$$ \lambda \odot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot x \\ \lambda \cdot y \end{pmatrix} $$
Ist das alles soweit erstmal verständlich?
Wenn du dir nun die Axiome aus dem Link anguckst, musst du nun zeigen, das diese mit den oben genannten Eigenschaften für Elemente aus \( U_1 \) gilt.
Ich zeige dir mal das erste (mit \( \oplus \) ist die Vektoraddition und mit \( \odot \) die skalare Multiplikation)
$$ A1: \ u \oplus ( v \oplus w ) = (u \oplus v) \oplus w \quad \text{(Assoziativität)} $$
Wir nehmen uns also mal drei Vektoren her
$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \oplus \left( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} \right) = \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) \oplus \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} $$
Wir können beide Seiten ausrechnen und erhalten
$$ \begin{pmatrix} x_1 + (x_2 + x_3) \\ y_1 + ( y_2 + y_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2) + x_3 \\ (y_1 + y_2) + y_3 \end{pmatrix} $$
Diese Gleichheit gilt, da die gewöhnliche Addition assoziativ ist.
Versuch dich mal mit den Axiomen auseinander zu setzen. Ich gucke gerne nochmal über deine Versuche drüber :)
Grüße Christian ─ christian_strack 09.12.2019 um 22:31