Hallo Miland,
Zuerst einmal allgemein zum Taylorpolynom. Es gilt:
Bei der Taylorentwicklung erhält man zu einer Funktion ein Polynom das die gegebene Funktion in einem bestimmten Punkt (dem sogenannten Entwicklungspunkt) approximiert (sich der Funktion annähert). Je größer du dein n werden lässt, desto besser wird die Approximation. Im unendlichen Fall hat man dann sogar ein Polynom das der Funktion, um diesen Entwicklungspunkt, gleicht.
Nun findet man für den Sinus und den Kosinus 2 unendliche Reihen über die Taylorentwicklung. Das sind genau die Reihen die du auf deinem zweiten Blatt hast.
Die Fakultäten kommen also aus der Taylorentwicklung. Prinzipiell wird angegeben bis zu welchem Grad eine Taylorentwicklung gemacht werden soll. Daher weißt du dann wie viele Summanden du am Ende hast.
Berechnet man Taylor nicht bis ins unendliche benötigt man noch eine sogenannte Restgliedabschätzung. Das ist ein Korrekturwert, da ja erst im unendlichen von einer Gleichheit ausgegangen werden kann. Meistens sind diese Restgliedabschätzungen jedoch schon ab 3-4 Grades so klein, das nicht wesentlich weiter entwickelt wird.
Ich denke das in deinem ersten Bild das O(x^5) diese Restgliedabschätzung sein soll.
Ist das auf dem ersten Bild dein Ansatz oder soll das schon die Musterlösung sein? Ich weiß leider nicht genau was die von dir bekannten Potenzfunktionen sind und in welchem Ausmaße ihr das bis jetzt behandelt habt.
Ich muss mir die Rechnung morgen nochmal genau angucken aber mich wundert das für den Sinus 2 unterschiedliche Approximationen genommen wurden. Also einmal bis Grad 2 und einmal bis Grad 4.
Ich hoffe das hilft schon mal.
Grüße Christian