Integral mit trigonemtrischer Substitution lösen

Aufrufe: 1127     Aktiv: 19.09.2018 um 14:34
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Hallo, ich beschäftige mich gerade mit einer Klausuraufgabe, bei der man trigonometrisch substituieren soll. Mir ist nicht klar, wodurch das dx nach der Substitution ersetzt wird. Wenn z.B. in einem Integral x^2 durch u ersezt wird, dann würde man ja nach dx umstellen. also du/dx = 2x     =>  dx = du/2x => Integral von  u*2x du Aber wie sieht das jetzt aus, wenn das x selbst substituiert wird? Mein Ansatz sieht so aus Viele Grüße!
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Hallo, du hast ja bereits geschrieben x'=2 cos( \( \alpha \) ). Jetzt kannst du schreiben \( x' = \frac {dx} {d \alpha } =  2 \cos (\alpha) \) Wenn du das jetzt nach dx auflöst erhälst du \( dx = 2 \cos ( \alpha ) d \alpha \) Du hast also richtig gerechnet, musst nur dein dx durch ein \( d \alpha \) ersetzen und dann eben nach \( \alpha \) integrieren. Und du darfst nicht vergessen deine Integrationsgrenzen (0 und 1) ebenfalls zu substituieren oder sie erst einzusetzen wenn du zurück substituiert hast. Grüße Christian
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Danke für die Antwort!

[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/09/Substitutionaufgabe.jpg[/img]

habe das Integral mal testweise durch einen Integralrechner ohne Rücksubstitution ausgeben lassen.

Allerdings bin mir nicht sicher, ob ich die Integrationsgrenzen richtig substituiert habe.

Würde so auch auf ein anderes Ergbnis als der Integralrechner kommen.

Viele Grüße!   ─   mathenewbie 20.09.2018 um 13:32

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Du musst beim substituieren der Grenzen darauf achten, dass die vorigen Grenzen für deinen x Wert stehen und du einen Wert für \( \alpha \) bekommen willst.

Hat man eine Funktion u(x) eingeführt, so musste man lediglich x einsetzen. Jetzt hast du aber eine Funktion \( x( \alpha ) \) .

Also musst du \( 0 =2 \sin ( \alpha) \) und \( 1 =2 \sin ( \alpha ) \) nach \( \alpha \) auflösen, bezogen auf dein Intervall.

Oder eben rücksubstituieren, was bei deinem Integral aber nicht so einfach ist.

Grüße Christian

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[img alt_text='' description='']https://letsrockmathe.de/fragen/wp-content/uploads/sites/18/2018/09/Trigonom.Lös.jpg[/img]

Mega! Das war auch immer ein Schritt der mir unklar war. Danke für die Erklärung.

Ich hätte noch eine kurze Frage. Ist es offfensichtlich, dass der arcsin(1/2) = pi/6 ist?

Wäre ich in der Klausur wahrscheinlich nicht draufgekommen.

Viele Grüße!   ─   mathenewbie 20.09.2018 um 14:34

Im Studium wird oftmals vorausgesetzt das bestimmte Werte für Sinus und Kosinus bekannt sind. Durch viel Übung mit den trigonometrischen Funktionen, bleiben auch bestimmte Werte hängen, aber direkt ersichtlich ist es nicht.

Beim lernen dieser Werte ist es vermutlich hilfreich im Hinterkopf zu haben, das der Kosinus dem Sinus um \( \frac {\pi} 2 \) vorauseilt. 

Also gilt: \( \sin ( \alpha ) = \cos ( \alpha - \frac  {\pi} 2 ) \) oder \( \cos ( \alpha ) = \sin( \alpha + \frac  {\pi} 2 ) \) .

Damit kann man sich einige Werte sparen. Aber wie gesagt direkt ersichtlich ist es nicht.

Solltest du einen Taschenrechner nutzen dürfen und es ginge dir nur um die Darstellung mit \( \pi \) , kannst du dein Ergebnis einfach mal durch \( \pi \) teilen. Du solltest \( \frac 1 6 \) erhalten. Damit wüsstest du das es \( \frac {\pi} 6 \) ist.

Freut mich das ich helfen konnte :)

Grüße Christian  

   ─   christian_strack 20.09.2018 um 15:19

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