Hallo, Ich habe auch noch gelesen, dass Verteilungen mit gleicher Streuung unterschiedliche Wölbungen haben können. Das versteh ich dann nicht. Hat denn eine Verteilung mit hoher Wölbung nicht eine geringe Streuung? Wenn die Verteilung um den Median herum steil ansteigt (hohe Wölbung) heißt das dann nicht, dass sich die Werte dort häufen und sich deshalb wenig (er) streuen? Oder (moment):  "Guckt" die Streuung nur, wo Werte sind (und wenn's nur einer ist; Stichwort: Ausreißerempfindlichkeit)?

Hallo valkyrion,

1. Streuung

Die Streuung gibt an, wie weit sich die Werte einer um ein zentrales Lagemaß herum verteilen. Bei metrischen Daten wird als Lagemaß meist das aritmetische Mittel (»Durchschnitt«) und als Streuungsmaß die Standardabweichung genommen. Verschiedene Normalverteilungen unterscheiden sich immer nur in zwei Werten voneinander: dem arithmetischen Mttel und der Standardabweichung, wie die Dichteformel für Normalverteilungen zeigt (Formel (1)).

$$f(x_{i})=\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\textrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{x_{i-\mu}}{\sigma}\right)} \tag{1}$$

Abbildung 1: Normalverteilungen mit verschiedenen Mittelwerten und unterschiedlicher Streuung
Quelle: Clauß/Ebner 1968:140

2. Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung gibt an, ob eine Verteilung spitzer oder flacher ist als eine Normalverteilung. Vergleiche dazu die folgenden beiden Bilder aus Wikipedia:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Steilgipflig.svg/1024px-Steilgipflig.svg.png

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f7/Flachgipflig.svg/1024px-Flachgipflig.svg.png

Die Wölbung hat ihren Sinn in dem Vergleich mit einer Normalverteilung. Sie ist durch Formel (2) definiert.

$$a_{4}=\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}z_{i}^{4}}{n}-3\tag{2}$$

\(z_{i}\) ist dabei der i-te z-Wert. z-Werte definieren einen Punkt auf der x-Achse der Standarnormalverteilung, bis zu dem von links aus gesehen ein bestimmter Flächenanteil liegt.

Eine Normalverteilung hat die Wölbung 0. Abweichungen von diesem Wert zeigen, dass eine empirische Verteilung nicht normalverteilt ist. Bei kleineren Werten ist die Verteilung breitgipflig, bei größeren Werten schmalgiplig. Vgl. dazu Bortz 5005:46

 

3. Schiefe

Wird die Lage von Modus, Median und arithmetischem Mittel zueinander betrachtet, dann kann abgeschätzt werden, ob eine empirische Verteilung linksschief (rechtssteil) oder rechtsschief (linkssteil) ist.

Abbildung 2: symmetrische, linkssteile (rechtsschiefe) und rechtssteile (linksschiefe) Verteilungen
\(h\) = Modus, \(\tilde{x}\) = Median, \(\bar{x}\) = arithmetisches Mittel
Quelle: Benninghaus 1989:49

Die Schiefe hat ihren Sinn in dem Vergleich mit einer Normalverteilung. Sie ist durch Formel (3) definiert.

$$a_{3}=\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}z_{i}^{3}}{n}\tag{3}$$

\(z_{i}\) ist dabei der i-te z-Wert. Eine Normalverteilung hat die Schiefe 0. Abweichungen von diesem Wert zeigen, dass eine empirische Verteilung nicht normalverteilt ist. Bei rechtssteilen (linksschiefen) Verteilungen wird \(a_{3}\) negativ. Deshalb wird in diesen Fällen auch von einer negativen Schiefe gesprochen. Bei linkssteilen (rechtsschiefen) Verteilungen wird \(a_{3}\) positiv. Deshalb wird in diesen Fällen auch von einer positiven Schiefe gesprochen. Vgl. dazu Bortz 5005:46

So. Jetzt hoffe ich zur Klärumg beigetragen zu haben.

Lebe lang und in Frieden
jake2042