Hallo,

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \Rightarrow A^t = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Beim transponieren wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

Hattet ihr das berechnen der Inversen über ihre Adjungte? Dort könnte der Tipp hilfreich sein. Es gilt nämlich:

\( A^{-1}=\frac 1 {detA} adj \ A = \frac 1 {ad-bc} \quad adj \ A \)

Es gilt für eine Matrix und ihr Inverses \( A \cdot A^{-1} \ = E_n \) mit \( E_n \) der Einheitsmatrix.

Deine Gleichung \(( A^t)^{-1} =( A^{-1})^t \) sagt aus, dass \( (A^{-1})^t \) das Inverse zu \( A^{t}\) ist. Das kannst du einfach nachrechnen.

Grüße Christian

Genau den Vorfaktor kannst du stehen lassen und dann wird wieder an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

\( (A^{-1})^t = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \)

Jetzt gilt

\( M \cdot M^{-1} = M^{-1} \cdot M = E_n \)

\( \Rightarrow A^t \cdot (A^t)^{-1} = A^t \cdot  (A^{-1})^t  = E_n \)

\( \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}  = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Das musst du jetzt noch prüfen.

Was ist den das Ergebnis von

\( \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a &c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Das kannst du ja ganz allgemein rechnen. Wenn du das Produkt berechnet hast wirst du sehen warum es stimmt.

\( \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

\(= \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} da-cb \quad & dc-cd \quad \\ -ba+ab \quad & -bc+ad \quad \end{pmatrix} \)

\(= \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\  0 & ad-bc \end{pmatrix} = \frac {ad-bc} {ad-bc} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\  0 & 1 \end{pmatrix} \)

Man kann es auch mit Buchstaben rechnen. Es kommt also egal für welches a,b,c und d immer die Einheitsmatrix heraus. Damit ist die Aussage bewiesen.

Grüße Christian

Edit: Ich bekomme es gerade nicht schöner dargestellt. Ich hoffe im zweiten Schritt ist verständlich welche Terme in welchem Eintrag stehen.