Hallo,

erst einmal die Gleichung durch drei dividieren: \(x^6-4x^3+8=0\)
Dann substituieren: \(z^2-4z+8=0\)
Quadratische Ergänzung:
\(z^2-4z=-8 \Leftrightarrow z^2-4z+4=-4 \Leftrightarrow (z-2)^2=-4\)
Dann die Wurzel ziehen: \(z-2=2i \vee z-2=-2i\)
Rücksubstitution: \(x^3=2+2i \vee x^3-2=-2i\)
Danach jeweils die Kubikwurzel ziehen ( \(\sqrt[3]{2+2i}\) )
usw, usw.

Daraus ergeben sich 6 Lösungen:

\(x_1=-1-i \\
x_2=-1+i \\
x_3=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\sqrt{3} -i \sqrt{4-2\sqrt{3}} \right ) \\
x_4=\dfrac{1}{2}\left ( 1+\sqrt{3} +i \sqrt{4-2\sqrt{3}} \right ) \\
x_5= \dfrac{1}{2}\left ( 1-\sqrt{3} -i \sqrt{2(2+\sqrt{3})} \right ) \\
x_6=\dfrac{1}{2}\left ( 1-\sqrt{3} -i \sqrt{2(2+\sqrt{3})} \right )\)