Hallo, wir sollen für f : R → R für (i) f(x):=\(\vert 2-x^{2}\vert\) und (ii) f(x):=\(\sqrt{\vert x-1\vert}\) mit dem \(\epsilon-\delta Kriterium \)zeigen, dass die Funktion in jedem a stetig ist. Ich bin dabei so vorgegangen (mir geht es dabei nur darum, ob der Ansatz ok ist, nicht um den vollständigen Beweis): (i)\(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\vert2-x^2\vert-\vert2-a^2\vert\vert\le\vert2-x^2-2+a^2\vert=\vert x^2-a^2\vert=\vert(x+a)(x-a)\vert < \delta \vert x+a\vert=\delta\vert x-a+2a\vert\le\delta(\vert x-a\vert+2\vert a\vert)<\delta (\delta+2\vert a\vert)\) Demnach muss ich also \(\delta=-\vert a\vert+\)\(\sqrt{a^2+\epsilon} \) wählen. (ii)\(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-\sqrt{\vert a-1\vert}\vert\) Für a=1 folgt dann: \(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-0\vert=\sqrt{\delta} \), also muss ich für \(\delta=\epsilon^2\) wählen. Für a\(\neq\)1 dann: \(\vert f(x)-f(a)\vert=\vert\sqrt{\vert x-1\vert}-\sqrt{\vert a-1\vert}\vert=\vert\frac{\vert x-1\vert-\vert a-1\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\le\vert\frac{\vert (x-1)-(a-1)\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert=\vert\frac{\vert x-a\vert}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert<\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert x-1\vert}+\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\le\vert\frac{\delta}{\sqrt{\vert a-1\vert}}\vert\), also für \(\delta=\epsilon\sqrt{\vert a-1\vert}\) Bin mir nicht sicher, ob ich das alles so abschätzen kann, wie ich das mache, wäre deswegen dankbar, wenn nochmal jemand verbessern könnte.