Hallo,
deine Gleichung stimmt leider nicht.

Berechne zuerst die beiden partiellen Ableitungen und setze die Werte des Punkts ein:

\(f_x=-\ln(y)\sin(x) \rightarrow f_x(\frac{\pi}{3},e)=\dfrac{1}{2e}\\
f_y=\dfrac{\cos(x)}{y} \rightarrow f_y(\frac{\pi}{3},e)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\)

Dann musst du noch \(z_0=f(x,y)\) bestimmen:

\(z_0=f(\frac{\pi}{3},e)=\dfrac{1}{2}\)

Diese setzt du nun in die Tangentialgleichung ein:

\(z=z_0+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)

\( \rightarrow z=\dfrac{1}{2}+\left (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left (x-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ) +\left (\dfrac{1}{2e}\cdot \left ( y-e\right ) \right )\\ \Leftrightarrow z=-\dfrac{1}{2} (\sqrt{3}\,x) + \dfrac{y}{2 e} + \dfrac{\pi}{2 \sqrt{3}}\)