Hallo,

wieso kann \( \lambda = 0 \) nicht Eigenwert sein? \( e^x \) ist bereits Eigenvektor. Zu welchen Eigenwert?

Die Funktion \( \sin(2\pi x) \) ist ebenfalls ein Eigenvektor. Wieso?

Grüße Christian

Hallo,   es bliebe allerdings noch zu zeigen, wieso \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}\) ein Eigenwert ist. Bis jetzt ist lediglich klar, dass \(0\notin\sigma\left ( A \right )\ni\left \{ 1,e \right \}\).   Wegen \(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}a^{x}=a^x\cdot ln(a)\) ist \(a^x\) stetig \(\forall a>0\). Dadurch können wir schonmal folgern, dass \(\mathbb{R}_{>0}\in \sigma\left ( A \right )\). Es bleibt also noch zu zeigen, dass \(\mathbb{R}_{<0}\in \sigma\left ( A \right )\).   Sei nun \(a\in\mathbb{R}_{>0}\). Da \(sin(-3\pi\left ( x+1 \right ))=-sin(-3\pi x)\)  und \(a^{x+1}=a\cdot a^x\) So folgt für \(f\left ( x \right ):=a^x\cdot sin(-3\pi x)\): \(A(f(x))=f(x+1)=a^x\cdot a\cdot \left ( -sin(-3\pi x) \right )=-a\cdot f(x)\). Daraus folgt wegen \(A(f(x))=-a\cdot f(x)\stackrel{!}{=}\lambda\cdot f(x)\), dass \(\lambda=-a\). Damit ist gezeigt, dass \(\mathbb{R}_{<0}\in \sigma\left ( A \right )\). Insgesamt gilt also : \(\mathbb{R}\setminus\left \{ 0 \right \}=\sigma\left ( A \right )\). \(\blacksquare\)   Gruß, Gauß.