Hallo,

einmal kurz zur Begrifflichkeit. Das was du dort geschrieben hast sind Ungleichungen und keine Funktionen.

Eine Funktion bildet einen Wert auf einen eindeutigen Funktionswert ab. Also sowas wie

f(x) = 1-x

wäre eine Funktion. Nur damit sich das nicht falsch einprägt 🙂

Nun zu deiner Frage. Bei der Ungleichung

\( 2 \ge x-1 \)

musst du keine Fallunterscheidung machen. Bei der Funktion

\( x^2 -4x > 0 \)

musst du in der Tat eine machen.

Du musst eine Fallunterscheidung ab dem Punkt anfangen, ab dem wir eine Operation durchführen, bei der sich das Vergleichszeichen umkehren könnte.
Da wir in der letzten Ungleichung ein \( x^2 \) haben gibt es sowohl positive als auch negative Wert die quadriert das selbe liefern. Wenn wir aber mit Ungleichungen rechnen müssen wir zum Beispiel beim teilen durch eine negative Zahl das Vergleichszeichen umkehren. Um diese Fälle zu berücksichtigen müssen wir die Fallunterscheidungen machen.

Speziell bei quadratischen Ungleichungen gibt es aber noch die Möglichkeit die Ungleichung als Gleichung aufzufassen und zu lösen. Durch die Lösungen kannst du mögliche Lösungsintervalle aufstellen die du durch einsetzen eines Elementes dieser Intervalle in die Ungleichung überprüfen kannst.
Die Intervalle für die die Ungleichung stimmt, das sind dann die wirklichen Lösungsintervalle.

Hier hat Daniel noch ein Video gemacht in dem er die Lösungsintervalle graphisch überprüft. Zum besseren Verständnis was ich genau meine 🙂

Bei Ungleichungen treten Fallunterscheidungen sonst noch bei Beträgen und Brüchen auf. Habe dir mal 2 Videos von Daniel dafür rausgesucht.

Ich hoffe es wird dir danach alles klarer, ansonsten melde dich nochmal.

Grüße Christian