Hallo,

fangen wir erstmal mit dem Satz 4.4.3 an. Das ist nämlich eigentlich gar nicht so schwierig.

Um eine Äquivalenzrelation zu beweisen, müssen folgende 3 Axiome erfüllt werden:

Eine Relation \( \sim \) ist Äquivalenzrelation, wenn sie 
reflexiv \( a \sim a \)
symmetrische \( a \sim b \Rightarrow b \sim a \)
und transitiv \( a \sim b \land b \sim c \Rightarrow a \sim c \)
ist.

Aus der Definition der Kongruenzrealtion erhalten wir, das \( M_1 \) und \( M_2 \) zueinander kongruent sind, wenn es eine Bewegung gibt, die \( M_1 \) auf \( M_2 \) abbildet.

Nehmen wir beides zusammen, erhalten wir:

\( \varphi (M_1) = M_1 \) (Reflexivität)
\( \varphi _1 (M_1) = M_2 \Rightarrow \varphi _2 (M_2) = M_1 \) (Symmetrie)
\( \varphi _1 (M_1) = M_2 \land \varphi _2 (M_2) = M_3 \Rightarrow \varphi _3 (M_1) = M_3 \) (Transitivität) 

Das musst du nun zeigen. Du kannst die Abbildungen die diese Punkte erfüllen sogar angeben.

Grüße Christian