Hallo,

bei dieser Aufgabe sollst du zeigen das die Aussagen i), ii), iii) und iv) Äquivalent zueinander sind.

Meistens macht man dafür einen Ringschluss, zum Beispiel i) => ii) => iii) => iv)

Die i) ist so also nicht richtig. Du fängst eher so an

Alle diese Eigenschaften haben als Vorraussetzung, das \( (H,*) \) eine Halbgruppe ist. 

i) => ii) \( (H,*) \) ist nun sogar eine Gruppe. Nun kannst du deine Argumentation aus ii) nutzen.

Da \( (H,*) \) eine Gruppe ist, gilt nach dem zweiten Axiom sofort die erste Eigeschaft von ii) und nach dem dritten Axiom sofort die zweite Eigenschaft.
( das muss natürlich noch etwas schöner formuliert werden)

Wir können hier anstatt den Ringschluss weiter zu führen, noch schnell ii) => i) zeigen, da die Argumentation fast die selbe ist

ii) => i) Die Eigenschaften aus ii) erfüllen sofort das zweite und dritte Gruppenaxiom. Da aber \( (H,*) \) bereits eine Halbgruppe ist (\( * \) also assoziativ), ist auch das erste Gruppenaxiom erfüllt und \( (H,*) \) ist somit eine Gruppe.
Nun haben wir i) <=> ii) gezeigt.

Jetzt zu den anderen beiden Aussagen. 

Wir wollen i),ii) => iv) zeigen. ( Da wir die Äquivalenz von i) und ii) gezeigt haben, ist es egal ob wir von i) oder ii) ausgehen)

Wir müssen nun aus den Gruppenaxiomen die Surjektivität zeigen. Fangen wir mit der Abbildung \( \tau_a \) an, \( _a\tau \) verläuft dann analog.

Es gilt \( \tau_a(h)= h*a \). Um Surjektivität zu zeigen, müssen wir zeigen, das jedes \( \tau_a \) ein Urbild hat. Das zeigst du hier am einfachsten, indem du die Gleichung durch Äquivalenzumformungen umstellst. 
Was hat das mit den Gruppenaxiomen zu tun?

Für Injektivität musst du zeigen \( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \). Nur eben mit deiner Abbildung. Auch hier die Frage: Was hat das mit den Gruppenaxiomen zu tun?

Wenn du das gezeigt hast, haben wir schon den Ringschluss i) <=> ii) => iv) => iii) 
Du musst dann nur noch iii) => ii) oder iii) => i) zeigen und bist fertig. Hier kannst du die ähnliche Argumentation wie bei der Surjektivität nutzen. Du musst die ganze Aufführung nur umkehren

Grüße Christian