Hallo, 

das kann man mit Vektoren gut nachrechnen.

Die Eckpunkte des Vierecks nennen wir \( A,B,C \) und \(D\). Die Mittelpunkte nennen wir \(M_1 , M_2 , M_3 \) und \( M_4\). Dabei ist der Mittelpunkt \( M_1 \) zwischen \( D \) und \( A \) usw.
Daraus ergeben sich die Geradengleichungen.

\( \vec{M_1} = \vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} \\ \vec{M_2} = \vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB} \\ \vec{M_3} = \vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB} \\ \vec{M_4} = \vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD} \)

Nun können wir daraus die Verbindungseraden der Mittelpunkte bestimmen.

\( \vec{M_1M_2} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} ) - (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB}) = \frac 1 2 (\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac 1 2 \vec{BD} \\ \vec{M_2M_3} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AB} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB}) = \vec{A} - \vec{C} + \frac 1 2 (\vec{AB} - \vec{CB}) = \vec{AC} + \frac 1 2 \vec{CA} = \frac 1 2 \vec{AC} \\ \vec{M_4M_3} = (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CB}) = \frac 1 2 (\vec{CD} - \vec{CB}) = \frac 1 2 \vec{BD} \\ \vec{M_1M_4} = (\vec{A} + \frac 1 2 \vec{AD} ) - (\vec{C} + \frac 1 2 \vec{CD}) = \vec{A} - \vec{C} + \frac 1 2 (\vec{AD} - \vec{CD}) = \vec{AC} + \frac 1 2 \vec{CA} =\frac 1 2 \vec{AC} \)

Man sieht das \( \vec{M_1M_2} \) und \( \vec{M_4M_3} \) gleich sind und \( \vec{M_2M_3} \) und \( \vec{M_1M_4} \) gleich sind.

Grüße Christian