Hallo,

tut mir leid das es diese mal etwas gedauert hat.

Bei der vollständigen Induktion, überprüft man die Gleichung erstmal für einen Startwert ( meist \( 1 \) oder \( 0 \)). Danach leiten wir aus \( A(n) \) einen Ausdruck für \( A(n+1) \) her. 

Wir zeigen also das wenn die Gleichung für eine natürliche Zahl gilt, gilt es auch für jede größere natürliche Zahl.

Für die erste rechne ich es dir einmal vor.

Wir wollen erst einmal eine Formel finden. 

Wir haben die Reihe \( \sum_{n=0}^n 2^n = 2^{n+1} -1 \).

I) Induktionsanfang: \( n=0 \)
\( \Rightarrow 2^0 = 2^{0+1} -1 \\ \Rightarrow 1 = 2-1 = 1 \)

II) Induktionschritt: \( n \to n+1 \)

\( \sum_{n=0}^{n+1} 2^n = 2^{n+2} -1 \\ \Rightarrow \sum_{n=0}^{n} (2^n )+ 2^{n+1} = 2^{n+2}-1 \\ \Rightarrow \sum_{n=0} 2^n = 2^{n+2}-1 - 2^{n+1} = 2^{n+1} (2 - 1 ) -1 = 2^{n+1} -1 \)

Und dies ist unsere Induktionsvorraussetzung. Damit haben wir die Gleichung bewiesen. 

Für die 2) als Hinweis. Die gesuchte Gleichung ist 

\( \sum_{n=0}^n = n^2 \)

Grüße Christian