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Hallo,
\(\lim\limits_{x\to \infty}e^x\ln (x)=\infty \neq 0\).
Für \(x\to -\infty\) hingegen ist er jedoch \(\lim\limits_{x\to -\infty}e^x\ln (x)=0\).
Dein Ansatz mit l'Hospital ist gut. Wir schreiben
\(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\ln (x)}{e^{-x}}\) und leiten danach beide Terme ab. Wir erhalten
\(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{1/x}{-e^{-x}}=\lim\limits_{x\to -\infty} -\dfrac{e^x}{x}\). Nach der Quotientenregel bilden wir den Grenzwert sowohl für den Nenner, als auch für den Zähler.
\(\dfrac{\lim\limits_{x\to -\infty}-e^x}{\lim\limits_{x\to -\infty} x}\) wobei für den Nenner gilt \(\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty\). Also haben wir \(\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\lim\limits_{x\to -\infty} -e^x}{-\infty}\).
Jetzt müssen wir noch den Zähler knacken, hierbei können wir das Vorzeichen vor den lim schreiben, sprich \(-\lim\limits_{x\to -\infty}e^x\). Und dann bewegen wir den lim in den Exponenten: \(-e^{\lim\limits_{x\to -\infty}x}\).
Wir erhalten \(\dfrac{-e^{-\infty}}{-\infty}\), wobei \(-e^{-\infty}=0\) entspricht.
Folglich erhalten wir \(\dfrac{0}{-\infty}=0\)
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Okay ich hab nicht ganz aufgepasst. Also das Ergebnis für \( {/-infty} \) soll =0 sein. Aber auch das verstehe ich nicht, denn laut Wolfram konvergiert die Folge schon bei x->0 gegen \( {/-infty} \).
Für mich auch verständlich weil der Def'bereich für ln(x) ja (0,+inf). Warum sagt Wolfram dann, dass die Folge gegen 0 geht?
─ benjamin.hasebrink 03.02.2019 um 08:54