Extrempunkte bei Funktionenscharen, wenn Parameter Element von allen reellen Zahlen

Erste Frage Aufrufe: 1573     Aktiv: 12.02.2019 um 16:44
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Hallo, ich möchte die Extrempunkte der Funktion f(x)=x^3-12t^2*x berechnen. Dabei ist t Element von allen reellen Zahlen. Wenn ich nun dieHinreichende Bedingung austelle und 12t herausbekomme kann ja nicht gesagt werden ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist, da t  ja jede Zahl sein kann. Was muss  ich in so einem Fall tun?

Danke schon mal für die Antworten,

Merlin :)

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Hallo,

die Ableitungen der Funktion \(f(x)=x^3-12t^2x\) lauten:

\(f'(x)=3(x^2-4t^2),\, f''(x)=6x\)

Zuerst setzen wir f'(x)=0:

\(\rightarrow x_1=2t,\, x_2=-2t\)

Diesen Wert setzen wir in die 2. Ableitung ein: \(f''(2t)=12t,\, f''(-2t)=-12t\). Also für alle t \(\neq\) 0 existieren hier Extrempunkte.

Wir setzen 2t in f(x) ein: f(2t)=-16t^3. 

Unser Extrempunkt lautet somit \(P(2t|-16t^3)\).

Wir stellen x=2t nach t um: t=0.5x und setzen diesen Wert in den y-Wert des Punkts ein:

\(y=-16(0.5x)^3=-2x^3\)

 

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