Nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen Multiplikatorregel nach La Grange

Aufrufe: 1084     Aktiv: 22.02.2019 um 11:26
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Aufgabe:

Die Zielfunktion \(W(x,y)=ln(\frac{3}{2}x)+ln(y)\) soll unter der Nebenbedingung \(2x+3y=36\) mithilfe der Multiplikatorregel nach La Grange optimiert werden.

\(W(x,y,r)=ln(\frac {3} {2} x)+ln(y)-r*0\)

bzw. mit \(0=2x+3y-36\)

\(W(x,y,r)=ln(\frac{3}{2}x)+ln(y)-r*(2x+3y-36)\)

Hier gleich meine erste Frage:
Muss man bei LaGrange immer -r*0 rechnen, oder geht auch +r*0?

Als Lösung für die partiellen Abeitungen 1. Ordnung =0 bekomme ich heraus: \(r=\frac{1}{18}; x=9; y=6;\)

Um nun noch nachzuweisen, dass es sich dabei um ein Maximum handelt untersuche ich diese Ableitungsnullstellen auf Vorzeichenwechsel der jeweiligen partiellen Ableitungen erster Ordnung. \(W_{x}(x_{0},y_{0},r_{0})\) und \(W_{y}(x_{0},y_{0},r_{0})\) ergeben jeweils, dass es sich um ein Maximum handelt (VZW jeweils von + nach -). Aber bei \(W_{r}(x_{0},y_{0},r_{0})\) ergibt sich jeweils 0.

Was ist da nun die Aussage daraus oder habe ich einen Rechenfehler? Oder berücksichtigt man hier diese Ableitung nicht, weil ja die eigentliche zu optimierende Zielfunktion nur von x & y abhängt?

 

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Hallo,

tatsächlich habe ich es noch nie gesehen, dass man \( r \cdot 0 \) subtrahiert, aber das macht keinen wirklichen Unterschied 
Also ja du kannst machen. Die Werte die du für dein \( r \) bekommst haben dann nur ein getauschtes Vorzeichen.

Ich würde da über die Definitheit der Hesse-Matrix agieren. Setzt du die Werte ein, so liegt bei positiver Definitheit ein Minimum vor und bei negativer Definitheit ein Maximum. 

Grüße Christian

 

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Hallo

Die Definitheit der Hesse Matrix ist nicht eindeutig: Zwei Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind negativ; eine ist positiv! Was kann ich daraus schlussfolgern?

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Ich weiß nicht ob ich vielleicht nicht genau genug war. Du musst die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion bestimmen. Aber nur nach \( x \) und \( y \) differenziert, also mit \( W(r,x,y) = W \)

\( \begin{pmatrix} W_{xx} & W_{xy} \\ W_{xy} & W_{yy} \end{pmatrix} \)

Dort musst du jetzt deine möglichen Extrema einsetzen und die Matrix auf Definitheit überprüfen. Ist diese jedoch auch indefinit, so kann man keine Aussagen treffen.

Du kannst sonst noch auf die geänderte Hesse-Matrix zurück greifen. Das ist die Hesse-Matrix der Lagrangefunktion. 

Also wieder mit \((W(r,x,y) = W) \)

\( \begin{pmatrix} W_{rr} & W_{rx} & W_{ry} \\ W_{xr} & W_{xx} & W_{xy} \\ W_{yr} & W_{yx} & W_{yy} \end{pmatrix} \)

Da die Lagrangefunktion nach \( r \) abgeleitet die Nebenbedingung ergibt, erhalten wir mit \( g(x,y) = 2x+3y -36 \)

\( \begin{pmatrix} 0 & g_{x} & g_{y} \\ g_{x} & W_{xx} & W_{xy} \\ g_{y} & W_{xy} & W_{yy} \end{pmatrix} \)

Diese hinreichende Bedingung ist allgemein etwas komplizierter. 

Ich gehe mal nur auf den Fall ein, das man 2 Variablen und eine Nebenbedingung hat wie bei dir. Wenn für dich noch weitere Fälle relevant sind, kann ich das gerne noch weiter ausführen.

Wenn die Determinante der geänderte Hesse-Matrix 

  1. negativ ist, dann liegt ein Minimum vor
  2. positiv ist, dann liegt ein Maximum vor
  3. Null ist, so lässt sich nicht sagen ob ein Extremum vorliegt

Wenn die Determinante Null ist, bleibt nur noch der graphische Weg. Du kannst dir das ganze zum Beispiel mit Geogebra visualisieren.

Grüße Christian

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