Hallo,

die Bedingungen für ein stationäres Extremum lauten: \(f'(x)=0\) und \(f''(x)\neq 0\).

Leitest du deine Funktionenschar ab, erhältst du:

\(f_a\, '(x)= \dfrac{x}{4}(8a+x),\: f_a\, ''(x)=\dfrac{1}{2}(4a+x)\)

Damit sich das lok. Extremum nun bei \(x=2\) befindet, muss gelten: \(f_a(2)=0\).

Eingesetzt und umgeformt:

\(\dfrac{2}{4}(8a+2)=0 \Leftrightarrow 4a+1=0 \Longrightarrow a_1=-\dfrac{1}{4}\).

Setzen wir diesen Wert in die 2. Ableitung ein, erhalten wir:

\(f_{-0.25}\, ''(2)=\dfrac{4\cdot (-0.25)+2}{2}=0.5 \neq 0\)

Somit besitzt die Funktion \(f_{-0.25}(x)\) an der Stelle \(x=2\) ein lokales Extremum.

Hier noch einmal grafisch:

https://www.desmos.com/calculator/tvk0uignlo