Hallo,

durch elementare Zeilenumformungen werden zwar gewisse Eigenschaften erhalten, tatsächlich wird die Abbildung selbst jedoch nicht beibehalten. Es wird beispielsweise der Rang, die Lösung des Gleichungssystems, die Invertierbarkeit beibehalten, aber beispielsweise nicht die Determinante oder wie bereits erwähnt die Abbildung.

Betrachten wir die Abbildung 

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Das ist die Identitätsabbildung und bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. 
Wenn wir nun die zweite Zeile auf die erste Spalte addieren erhalten wir

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Diese Abbildung erhält den \( y- \) und \(z-\)Wert, jedoch gilt für den \(x-\)Wert, \( x+y \)

Deshalb wird Ähnlichkeit bei Matrizen eingeführt. Ähnliche Matrizen bechreiben immer die selbe Abbildung, haben die selbe Determinante, selbe Spur, selben Rang, selbes Minimalpolynom und dadurch natürlich auch die selben Eigenwerte/Eigenvektoren.

Grüße Christian

Sehr interessante Frage! Ich habe mir diese selbst vor einiger Zeit von meinem Professor beantworten lassen. Um noch meine persönliche Erfahrung zu der fundierten Antwort von Christian zu geben, als zweiter Blickwinkel.

Für das Finden von Eigenwerten (bzw. ferner Eigenvektoren) löst du die Gleichung (Charakteristisches Polynom χ) det(\(lambda) E_{n} - A) = 0

Willst du nun also Eigenwerte wissen, musst du diese neue Matrix umformen. Da die \lambda nur auf der Hauptdiagonalen vorkommen und die Einträge der Grundmatrix dort von ihnen subtrahiert werden, siehst du dass die Ausgangsmatrix, und die Form der Matrix um Eigenwerte zu kalkulieren nicht äquivalent sind.

Das Problem liegt hier, soweit meine mathematischen Kenntnisse reichen, in der Herleitung der Gleichung des Charakteristischen Polynoms. Willst du Eigenwerte, brauchst du χ. Willst du die Lösung des LGS, brauchst du die Ausgangsmatrix. Das sind verschiedene Matrizen, welche in verschiedenen Äquivalenzumformungen resultieren.

Wie kannst du das Problem also umgehen? 

• Du führst mit der Einheitsmatrix (\(lambda) E_{n})die selben Spalten- und Zeilenoperationen durch, die du auch mit der Ausgangsmatrix durchführst, und führst dann erst die Subtraktion beider Aus. Das funktioniert! Denn dann formst du tatsächlich Äquivalente Terme um.
• Du nimmst einfach hin, dass es sich um zwei Verschiedene Matrizen handelt, und überlässt den Beweis des Charakteristischen Polynoms den Mathematikern.

Ich hoffe dir damit ein wenig helfen zu können!