Hallo,

du hast bei der a) einen Fehler beim zusammenfassen gemacht.

\( T_2(x) = e - \frac e 2 (x- \frac {\pi} 2)^2 = e( 1- \frac {(x- \frac {\pi} 2)^2} 2) \)

Ansonsten stimmt die a) aber.

Bei der b) musst du noch \( x = \frac {3\pi} 8 \) noch in die richtige Zusammenfassung einsetzen. 

Bei der Restgliedabschätzung warst du etwas zu voreilig 

\( R_{n}(x) = \frac {f^{n+1}(\xi)} {(n+1)!} (x-x_0)^{n+1} \) mit \( \xi \in (min(x,x_0), max(x,x_0)) \).

Nun wollen wir den maximalen Fehler finden, also nehmen wir das \( \xi \) für das der Fehler maximal wird. 

Erstmal bestimmen wir 

\( f'''(\xi) = -e^{\sin(\xi)} \cos(\xi) (3\sin(\xi) - \cos^2(\xi) +1) \)

wir müssen nun herausfinden, für welches \( \xi \in (\frac{3\pi} 8, \frac{\pi} 2) \), der Fehler maximal wird.

Da \( f'''(\xi) \) bei \( \xi= \frac {\pi} 2 \) eine Nullstelle hat, nehmen wir \( \xi = \frac {3\pi} 8 \). Wir erhalten dann für \( f'''(\frac {3\pi} 8) = -3,49.. \)

Da es aber darum geht quasi den Abstand vom eigentlichen Funktionswert zu bestimmen, können wir den Betrag nehmen und erhalten so unseren Fehler von \( \vert R_3(\frac {3\pi} 8) \vert \leq \vert  \frac{-3,49} {3!} (\frac {3\pi} 8 - \frac {\pi} 2 )^3 \vert = \vert \frac {-3,49} 6 (-\frac {\pi} 8)^3 \vert \approx 0,035 \).

Grüße Christian