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Hallo,
ich würde nun zeigen, dass es für alle anderen Untergruppen nicht gilt.
Wir setzen also \( U_1 \nsubseteq U_2 \land U_2 \nsubseteq U_1 \).
Wenn das gilt, dann gibt es mindestens ein Element in \( U_1 \) das nicht in \( U_2 \) ist und umgekehrt.
\( \exists a \in U_1 \land a \notin U_2 \\ \exists b \in U_2 \land b \notin U_1 \)
Nun gilt dann aber \( a,b \in U_1 \cup U_2 \).
Kannst du daraus weiter schlussfolgern, dass \( U_1 \cup U_2 \) keine Untergruppe sein kann?
Grüße Christian
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Oh das ist gut! Vielen Dank!
─ hilhil 20.03.2019 um 22:03Gerne :)
Wenn du die ganze Lösung hast kann ich gerne nochmal drüber schauen.
Grüße Christian
─ christian_strack 20.03.2019 um 22:05
Ich habe mich mal probiert es aufzuschreiben. Geht das deiner Meinung nach so?
Sei U1 ⊆ U2, dann gilt U1 ∪ U2 ist eine Untergruppe
Da U1 Untergruppe ist gibt es ein n.E. e ∈ U1 welches somit auch in U1 ∪ U2 ist.
Da U1 eine Untergruppe ist existiert zu jedem Element a ∈ U1 ∪ U2, ein a^-1 ∈ U1 ∪ U2.
Da U1 eine Untergruppe ist gilt für a.b ∈ U1 ∪ U2, a*b ∈ U1 ∪ U2.
Analog für U2 ⊆U1.
Sei U1 ∪ U2 Untergruppe, wenn U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1
Beweis durch Widerspruch:
xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>⊈</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>∧</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>⊈</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">.
xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>∧</mo><mi>a</mi><mo>∉</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mspace linebreak="newline" /><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>∧</mo><mi>b</mi><mo>∉</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">
xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>a</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>∧</mo><mi>a</mi><mo>∉</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mspace linebreak="newline" /><mi mathvariant="normal">∃</mi><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>∧</mo><mi>b</mi><mo>∉</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">
Nun gilt aber xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>∪</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub></math>">.
Daher ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben. Und somit gilt dann:
xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>∈</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>∪</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub></math>">
ist eine Untergruppe, genau dann wenn, U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1.
─ hilhil 21.03.2019 um 16:40
Beim ersten Fall reicht es wenn du sagst,
da \( U_1 \subseteq U_2 \Rightarrow U_1 \cup U_2 = U_2 \) und die Voraussetzung war ja das \( U_2 \) eine Untergruppe ist. Analog \( U_2 \subseteq U_1 \Rightarrow U_1 \cup U_2 = U_1 \)
Beim zweiten Fall denkst du schon mal in die richtige Richtung. Aber warum ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben? Das musst du jetzt noch zeigen.
Du willst also zeigen, dass \( a \circ b \notin U_1 \cup U_2 \) gilt.
Was müsste den gelten, damit \( a \circ b \in U_1 \cup U_2 \) gilt?
Grüße Christian
─ christian_strack 22.03.2019 um 02:23Als Tipp, sieh \( a \circ b = c \) als ein Element an. Wo muss \( c \in U_1 \cup U_2 \) noch drin sein, damit \( c \) in \( U_1 \cup U_2 \) überhaupt sein kann.
Grüße Christian
─ christian_strack 23.03.2019 um 12:50
Welche Axiome musst du denn zeigen, damit etwas eine Untergruppe ist?
─ ikeek 20.03.2019 um 19:40